Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Integrals
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13655
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 19 янв 2012, 05:59 ]
Заголовок сообщения:  Integrals

[math](1)\;\; \displaystyle \int_{-1}^{1}\mid x \mid \left(1+\arctan (x)\right)^3dx[/math]

[math](2)\;\; \displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x(\cos x-\sin x)}{1+\mid \sin (2x)\mid}dx[/math]

Автор:  SzaryWilk [ 19 янв 2012, 07:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integrals

[math]\int_{-1}^{1}|x|\left(1+\arctan x\right)^3dx=\int_{-1}^1|x|dx+3\int_{-1}^1|x|\arctan x \;dx+[/math]

[math]+3\int_{-1}^1|x|\arctan^2 x \;dx+\int_{-1}^1|x|\arctan^3 x \;dx=1+6\int_{0}^1x\arctan^2 x \;dx[/math]


[math]\int x\arctan^2x\;dx=\frac{x^2}{2}\arctan^2x-\int\frac{x^2\arctan x}{1+x^2}dx=[/math]


[math]=\frac{x^2}{2}\arctan^2x-(x-\arctan x)\arctan x+\int\frac{x-\arctan x}{1+x^2}dx=[/math]


[math]=\frac{x^2}{2}\arctan^2x-x\arctan x+\arctan^2x+\frac{1}{2}\ln(1+x^2)-\frac{1}{2}\arctan^2x+C[/math]


[math]=\frac{1}{2}[(x^2+1)\arctan^2x-2x\arctan x+\ln(x^2+1)]+C[/math]

Автор:  Prokop [ 19 янв 2012, 12:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integrals

[math]I = 2\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{\cos ^2 x}}{{1 + \left| {\sin 2x} \right|}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2}{\frac{{1 + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x}}dx} = \int\limits_0^{\pi /2} {\frac{1}{{1 + \sin 2x}}dx} = \left\{ {t = \operatorname{tg} x} \right\} = \int\limits_0^\infty {\frac{{dt}}{{\left( {1 + t} \right)^2 }}} = 1[/math]

Автор:  neurocore [ 21 янв 2012, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integrals

Prokop, ээм, cos 2x правда в числителе исчез, или мне мерещится?..)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/