Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Криволинейный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13547
Страница 1 из 1

Автор:  pronyn [ 16 янв 2012, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Криволинейный интеграл

Возник вопрос, возможно где-то опечатка в условии или я ошибся. Просьба поправить и довести решение до конца.

Изображение

Автор:  SzaryWilk [ 17 янв 2012, 04:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

(Откуда Вы взяли пределы интегрирования -1 и 1 ? Интегрируем по параболе от точки [math](1,\sqrt 2)[/math] до [math](2,2)[/math], значит [math]x\in(1,2)[/math]).


Мы можем выразить как [math]x[/math] функцию от [math]y[/math], тогда получим более приятный интеграл.

[math]x=\frac{y^2}{2}[/math]

[math]x'(y)=y[/math]

Тогда

[math]\int_L\frac{y^2}{x}\,dl=\int_{\sqrt 2}^2\frac{2y^2}{y^2}\sqrt{1+y^2}dy=2\int_{\sqrt 2}^2\sqrt{1+y^2}dy\hspace{15mm}(*)[/math]


Вычислим неопределенный интеграл:

[math]\int\sqrt{1+y^2}dy=\left |\begin{matrix}y=\sinh t\\dy=\cosh t\;dt\end{matrix}\right |=\int\sqrt{1+\sinh^2 t}\cosh t\;dt=[/math]


[math]=\underline{\int\cosh t \cosh t\;dt}=\sinh t\cosh t-\int\sinh^2 t\;dt=\sinh t\cosh t-[/math]


[math]-\int(\cosh^2t-1)dt=\sinh t\cosh -\underline{\int\cosh^2dt}+t+C[/math]


откуда получаем

[math]\int\cosh^2dt=\frac{1}{2}(\sinh t\cosh t +t)+C[/math]
Следовательно,

[math]\int\sqrt{1+y^2}dy=\frac{1}{2}(\sinh t\cosh t +t)+C=\frac{1}{2}(y\sqrt{1+y^2}+\text{arcsinh}\; y)+C[/math]


Вставляя это выражение в (*) получаем окончательно

[math]\int_L\frac{y^2}{x}\,dl=(y\sqrt{1+y^2}+\text{arcsinh}\; y)\Big|_{\sqrt 2}^2=.....\approx 2.32[/math]

Автор:  pronyn [ 17 янв 2012, 10:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Криволинейный интеграл

Огромное спасибо! У меня возникла уверенность, что в методичке опечатка в условии, т.к. другие задания из этой группы куда проще.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/