| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Криволинейный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13547 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | pronyn [ 16 янв 2012, 23:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Криволинейный интеграл |
Возник вопрос, возможно где-то опечатка в условии или я ошибся. Просьба поправить и довести решение до конца.
|
|
| Автор: | SzaryWilk [ 17 янв 2012, 04:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Криволинейный интеграл |
(Откуда Вы взяли пределы интегрирования -1 и 1 ? Интегрируем по параболе от точки [math](1,\sqrt 2)[/math] до [math](2,2)[/math], значит [math]x\in(1,2)[/math]). Мы можем выразить как [math]x[/math] функцию от [math]y[/math], тогда получим более приятный интеграл. [math]x=\frac{y^2}{2}[/math] [math]x'(y)=y[/math] Тогда [math]\int_L\frac{y^2}{x}\,dl=\int_{\sqrt 2}^2\frac{2y^2}{y^2}\sqrt{1+y^2}dy=2\int_{\sqrt 2}^2\sqrt{1+y^2}dy\hspace{15mm}(*)[/math] Вычислим неопределенный интеграл: [math]\int\sqrt{1+y^2}dy=\left |\begin{matrix}y=\sinh t\\dy=\cosh t\;dt\end{matrix}\right |=\int\sqrt{1+\sinh^2 t}\cosh t\;dt=[/math] [math]=\underline{\int\cosh t \cosh t\;dt}=\sinh t\cosh t-\int\sinh^2 t\;dt=\sinh t\cosh t-[/math] [math]-\int(\cosh^2t-1)dt=\sinh t\cosh -\underline{\int\cosh^2dt}+t+C[/math] откуда получаем [math]\int\cosh^2dt=\frac{1}{2}(\sinh t\cosh t +t)+C[/math] Следовательно, [math]\int\sqrt{1+y^2}dy=\frac{1}{2}(\sinh t\cosh t +t)+C=\frac{1}{2}(y\sqrt{1+y^2}+\text{arcsinh}\; y)+C[/math] Вставляя это выражение в (*) получаем окончательно [math]\int_L\frac{y^2}{x}\,dl=(y\sqrt{1+y^2}+\text{arcsinh}\; y)\Big|_{\sqrt 2}^2=.....\approx 2.32[/math]
|
|
| Автор: | pronyn [ 17 янв 2012, 10:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Криволинейный интеграл |
Огромное спасибо! У меня возникла уверенность, что в методичке опечатка в условии, т.к. другие задания из этой группы куда проще. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|