| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Площадь поверхности вращения дуги вокруг стягивающей хорды http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13532 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Andrew1920 [ 16 янв 2012, 19:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Площадь поверхности вращения дуги вокруг стягивающей хорды |
Дуга окружности [math]x^2+y^2=a^2[/math], лежащая в первом квадранте, вращается вокруг стягивающей её хорды. Вычислаить площадь получающейся при этом поверхности. |
|
| Автор: | erjoma [ 21 янв 2012, 17:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти площадь тела вращения |
[math]\begin{gathered} y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} ,x \in \left[ {0,a} \right] \hfill \\ y' = - \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }} \hfill \\ \end{gathered}[/math] длина дуги окружности: [math]L = \int\limits_0^a {\sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} dx} = a\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} = a\left. {\arcsin \frac{x}{a}} \right|_0^a = \frac{{\pi a}}{2}[/math] момент инерции дуги окружности относительно оси [math]Ox[/math]: [math]{M_x} = \int\limits_0^a {y\sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} dx} = \int\limits_0^a {adx} = {a^2}[/math] момент инерции дуги окружности относительно оси [math]Oy[/math]: [math]{M_y} = \int\limits_0^a {x\sqrt {1 + {{\left( {y'} \right)}^2}} dx} = \int\limits_0^a {\frac{{ax}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = - a\left. {\sqrt {{a^2} - {x^2}} } \right|_0^a= {a^2}[/math] Координаты центра тяжести дуги: [math]\begin{gathered} \bar x = \frac{{{M_y}}}{L} = \frac{{2a}}{\pi } \hfill \\ \bar y = \frac{{{M_x}}}{L} = \frac{{2a}}{\pi } \hfill \\ \end{gathered}[/math] Уравнение хорды, стягивающей дугу окружности: [math]\frac{x}{{\sqrt 2 }} + \frac{y}{{\sqrt 2 }} - \frac{a}{{\sqrt 2 }} = 0[/math] Расстояние от центра тяжести дуги окружности до хорды равно [math]d = \frac{{\left( {4 - \pi } \right)a}}{{\sqrt 2 \pi }}[/math] Площадь поверхности равна [math]S = 2\pi dL = \frac{{{\pi}\left( {4 - \pi } \right){a^2}\sqrt 2 }}{2}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|