Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13514
Страница 1 из 1

Автор:  andreiX [ 16 янв 2012, 14:09 ]
Заголовок сообщения:  найти интеграл

Найти неопределенный интеграл от дробно-рациональной функции, раскладывая их на простейшие дроби, выделив, если это необходимо, целую часть

[math]\int {\frac{{3{x^2} + 1}}{{(x - 1)({x^2} - 1)}}} dx[/math]

Надо контрольную решить а на этом застрял...

Автор:  neurocore [ 16 янв 2012, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти интеграл

[math]\[\begin{gathered} \int {\frac{{3{x^2} + 1}}{{(x - 1)({x^2} - 1)}}} dx = ... \hfill \\ \frac{{3{x^2} + 1}}{{(x - 1)({x^2} - 1)}} = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 1)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 1}} + \frac{C}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{A{{(x - 1)}^2} + B(x + 1)(x - 1) + C(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 1)}} = \hfill \\ = \frac{{A{x^2} - 2Ax + A + B{x^2} - B + Cx + C}}{{{{(x - 1)}^2}(x + 1)}} \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} A + B = 3 \hfill \\ - 2A + C = 0 \hfill \\ A - B + C = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B = 3 - A \hfill \\ - 2A + C = 0 \hfill \\ 2A + C = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} B = 2 \hfill \\ C = 2 \hfill \\ A = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ ... = \int {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + \int {\frac{{2dx}}{{x - 1}}} + \int {\frac{{2dx}}{{{{(x - 1)}^2}}}} = \ln \left| {x + 1} \right| + 2\ln \left| {x - 1} \right| - \frac{2}{{x - 1}} + C \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  andreiX [ 16 янв 2012, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти интеграл

теперь я понял ошибку я считал без х+1 в знаменателе скажите откуда мы его берем... чтобы знать на будушее

Автор:  Shaman [ 16 янв 2012, 15:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти интеграл

andreiX
[math](x^{2}-1) =(x-1)\cdot (x+1)[/math]

Автор:  andreiX [ 16 янв 2012, 16:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти интеграл

а почему под с остался х-1 в квадрате? у меня очень туго с математикой)

Автор:  neurocore [ 18 янв 2012, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти интеграл

Есть теорема о разложении рациональной дроби в сумму простейших. Такая дробь раскладывается именно так (в зависимости от разложения знаменателя в произведение линейных/квадратичных многочленов). Покурите вики, в общем)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/