Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь части плоскости, вырезанной поверхностью
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13356
Страница 1 из 1

Автор:  funtikkk [ 13 янв 2012, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь части плоскости, вырезанной поверхностью

Найти площадь части плоскости z=4x , вырезанной поверхностью z=x^2+y^2.

Помогите, пожаслуйста, построить и с чего начать

Автор:  Alexdemath [ 14 янв 2012, 03:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части плоскости, вырезанной поверхностью

Параболоид [math]z=x^2+y^2[/math] вырезает из плоскости [math]z=4x[/math] эллипс.

Найдём проекцию [math]D_{xy}[/math] данного эллипса на плоскость [math]Oxy[/math], для чего приравняем правые части уравнений:

[math]x^2+y^2=4x~~ \Leftrightarrow~~ x^2-4x+4+y^2= 4~~ \Leftrightarrow~~ (x-2)^2+y^2=4[/math]

Следовательно, проекцией является круг радиуса 2 с центром в точке (2;0) и [math]D_{xy}= \Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, (x-2)^2+y^2\leqslant 4\Bigr\}[/math].

[math]S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, (x-2)^2+y^2\leqslant 4,~ z=4x\right\}[/math]

[math]ds= \sqrt{1+ z'_x^2+z'_y^2}\,dxdy= \sqrt{1+{(4x)'}_x^2+{(4x)'}_y^2}\,dxdy=\sqrt{17}\,dxdy[/math]

[math]s= \iint\limits_{S}ds= \sqrt{17}\iint\limits_{D_{xy}}dxdy= \left\{\begin{gathered}x-2= r\cos\varphi, \hfill\\y=r\sin\varphi\hfill \end{gathered}\right\} = \sqrt{17}\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 r\,dr=\ldots= 4\pi\sqrt{17}[/math]

Автор:  funtikkk [ 14 янв 2012, 10:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части плоскости, вырезанной поверхностью

Огромное спасибо) я уже вчере решила)

Автор:  Alexdemath [ 14 янв 2012, 13:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь части плоскости, вырезанной поверхностью

funtikkk

Ответ такой же получили?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/