Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти длину дуги архимедовой спирали
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13296
Страница 1 из 1

Автор:  Kirrrrrrr [ 12 янв 2012, 16:04 ]
Заголовок сообщения:  Найти длину дуги архимедовой спирали

Пожалуйста, помогите разобраться, как вычисляется длина дуги архимедовой спирали!
Нашёл формулу для длины дуги: [math]l = \frac{a}{2}\left[ {\phi \sqrt {\phi ^2 + 1} + \ln \left( {\phi + \sqrt {\phi ^2 + 1} } \right)} \right][/math].
Далее, как я понял, в формуле: а - шаг спирали, то есть количество витков, [math]\phi[/math] - угол поворота в радианах.
Пробую считать длину дуги для 1, 2, 3 оборотов спирали: подставляю в формулу для а соответственно 1, 2, 3, для [math]\phi[/math] - 2Пи, 4Пи, 6Пи. Получаю в результате значения 3,055 для 1-го витка, 21,256 для 2-х витков и 161,639 для 3-х витков. Не пойму что за значения получились? Шаги были 1, 2 и 3, а длина 3-го оборота спирали достигает уже 161,639 - огромная величина, видно чисто визуально, что длина спирали гораздо короче. И по этим цифрам получается также, что 2 витка (21,256) длиннее 1 витка (3,055) почти в 7 раз, что не соответствует действительности. Не разберусь в чем ошибка?

Автор:  andrei [ 12 янв 2012, 21:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

[math]a[/math] не шаг спирали,а некая постоянная из уравнения,описывающего спираль в полярных координатах [math]\rho =a \varphi[/math]

Автор:  Kirrrrrrr [ 13 янв 2012, 06:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

С величиной [math]a[/math] ясно, пусть это константа, но от этого не легче. Допустим, беру [math]a=1[/math]. Луч сделал первый оборот на 360 градусов, и точка [math]a[/math] сдвинулась по нему на 1, то бишь расстояние между соседними точками пересечения спирали с осью абсцисс равно 1.
Тогда по формуле длину первого витка получаю 21,256 (вставил [math]a = 1,\,\,\phi = 2\pi[/math]). Но первый виток больше расстояния между соседними точками пересечения спирали с осью абсцисс примерно в 2 с небольшим раза - это видно визуально по рисунку - а никак не в 21 раз. Называется - я что-то не пойму, но не пойму что именно) Вразумите!
Изображение

Автор:  Shaman [ 13 янв 2012, 08:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Если полагать шаг спирали равным a, то уравнение выглядит так:
[math]r(\varphi ) = \frac{{a \cdot \phi }}{{2 \cdot \pi }}[/math]
Длина спирали считается по формуле:
[math]L = \frac a {4 \cdot \pi} \cdot \left( \phi\sqrt {1+{\phi}^{2}}+\ln \left( \phi+\sqrt {1+{\phi}^{2}} \right) \right)[/math]

Например, для a=1:
L(2*Pi) = 3.3830
L(4*Pi) = 12.864
L(6*Pi) = 28.602
L(8*Pi) = 50.618

Вики: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1% ... 0%BB%D1%8C

Автор:  Prokop [ 13 янв 2012, 08:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Kirrrrrrr
На Вашем рисунке вместо [math]1[/math] надо написать [math]2\pi[/math], а это уже "другое дело".

Автор:  Kirrrrrrr [ 13 янв 2012, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Prokop, я имею в виду, что мы это расстояние (между соседними точками пересечения спирали с осью абсцисс), допустим, обозначаем за 1 см. Сколько см тогда будет длина первого витка спирали?
Как посчитал Shaman, получается, что будет 3.383 см.
Shaman, ну вы просто подставили из уравнения архимедовой спирали в формулу длины значение [math]2\pi[/math] в знаменатель, так? Странно, почему тогда во всех источниках приводится формула для вычисления длины дуги именно с множителем [math]\frac{a}{2}[/math].

Автор:  Shaman [ 13 янв 2012, 15:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Kirrrrrrr
Мне трудно ответить не зная какие источники вы имеете в виду.
Если интересно - показывайте ссылку...

Автор:  Kirrrrrrr [ 15 янв 2012, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Shaman, формула, которую я привел, указана и в Википедии и в этих источниках:
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
Учебник по высшей математике. Максюков Н.И., Малахов А.Н., Никишкин В.А. 1998 г.
Cправочник математических формул.
Математическая энциклопедия Wolfram MathWorld.

Формула там упоминается [math]l = \frac{a}{2}\left[ {\phi \sqrt {1 + \phi ^2 } + \ln \left( {\phi + \sqrt {1 + \phi ^2 } } \right)} \right][/math]. Еще раз уточнил: [math]\phi[/math] - число витков спирали в радианах, [math]a[/math] - расстояние между соседними точками пересечения спирали с осью абсцисс, так называемый шаг спирали.
Считаю по этой формуле и получаю явно неправильные значения. Потому, что взяв [math]a = 1[/math] и [math]\phi = 2\pi[/math] получаю результат 21,256. Как будто 1-й виток спирали больше шага спирали в 21 раз. По рисунку видно что это не так! Что я делаю не так, или что я понимаю не так? Не может же быть что формула везде неправильная)

Shaman, будьте добры, объясните, почему вы взяли множитель формулы не [math]\frac{a}{2}[/math], а [math]\frac{a}{{4\pi }}[/math]. И если ваша формула правильная, то почему везде указывают хотя и похожую, но другую?

Автор:  Shaman [ 15 янв 2012, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Заглядываю в Вики, там под a понимается именно шаг спирали, а в формуле L= используется k/2, а не a/2, а чуть выше объяснено что такое k :)
Посмотрел другие ссылки: там в формуле длины a/2, но не утверждается, что a это именно шаг спирали, просто коэффициент в формуле...

Kirrrrrrr, забейте, a - это просто буква и обозначить ей можно что угодно.
Вы просили зависимость длины от шага и я дал вам формулы, они верны.
Если записать уравнение спирали как R(f)=k*f, то в формуле длины будет k/2 и не будет никаких пи, но шаг в этом случае будет не k, а в 2Pi раз больше, как заметил Prokop.

Автор:  Kirrrrrrr [ 16 янв 2012, 07:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти длину дуги архимедовой спирали

Ну наконец-то)) Невнимательность не дружит с точными науками! Просто еще и источники слегка внесли путаницу, обозначение в формуле то [math]a[/math], то [math]k[/math]. А я плоховато разобрался в теме, и был уверен, что эта величина обозначает именно шаг спирали как таковой. Очень благодарен за помощь!!! А то неприятное ощущение было: формула же есть, но посчитать не могу, это по готовой-то формуле.
Shaman, теперь прекрасно я понял, откуда вы взяли [math]2\pi[/math] в знаменателе. Действительно, в Википедии написано, что [math]k[/math] (которое в др. источниках обозначают еще как [math]a[/math]) - смещение точки по лучу, при его повороте на 1 радиан. Делаем пропорцию. Если при повороте на [math]2\pi[/math] радиана точка смещается например на 1 см, то при повороте на 1 радиан она смещается на [math]\frac{1}{{2\pi }}[/math] см.
Кстати, уже проверил ответ на практике: нарисовал в КорэлДро 1-й виток спирали, спрямил его, и разделил на шаг - все сходится! Формула работает разумеется. Еще раз спасибо что помогли понять!)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/