Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Integral
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13277
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 12 янв 2012, 12:44 ]
Заголовок сообщения:  Integral

[math]\displaystyle \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{(\sin x+\cos x)^n}dx[/math]

Where [math]n\in\mathbb{Z}[/math] and [math]n\geq 1[/math]

Автор:  neurocore [ 12 янв 2012, 13:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integral

[math]\[\begin{gathered} \int\limits_{\frac{\pi }{{12}}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{{{(\sin x + \cos x)}^n}}}} = \int\limits_{\frac{\pi }{{12}}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{{{(\sqrt 2 \sin (x + \frac{\pi }{4}))}^n}}}} = \frac{1}{{{2^{\frac{n}{2}}}}}\int\limits_{\frac{\pi }{{12}}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^n}(x + \frac{\pi }{4})}}} = \left| \begin{gathered} t = {\sin ^2}(x + \frac{\pi }{4}) \hfill \\ x = \arcsin \sqrt t - \frac{\pi }{4} \hfill \\ dx = \frac{{dt}}{{2\sqrt t *\sqrt {1 - t} }} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \hfill \\ = \frac{1}{{{2^{\frac{n}{2}}}}}\int\limits_{\frac{3}{4}}^{\frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}} {\frac{{\frac{{dt}}{{2\sqrt t *\sqrt {1 - t} }}}}{{{t^{\frac{n}{2}}}}} = } \frac{1}{{{2^{\frac{n}{2} + 1}}}}\int\limits_{\frac{3}{4}}^{\frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}} {\frac{{dt}}{{{t^{\frac{{n + 1}}{2}}}{{(1 - t)}^{\frac{1}{2}}}}}} = \frac{1}{{{2^{\frac{n}{2} + 1}}}}\int\limits_{\frac{3}{4}}^{\frac{{1 + \sqrt 3 }}{4}} {{t^{ - \frac{{n + 1}}{2}}}{{(1 - t)}^{ - \frac{1}{2}}}dt} = ... \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Im tried to lead in to beta-function, but limits are not 0 and 1.. Maybe some conversion by change?

Автор:  andrei [ 12 янв 2012, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integral

[math]\int{\frac{dx}{(sin(x)+cos(x))^n} }=2^{-\frac{n}{2} } \int{\frac{d(x-\frac{ \pi }{4}) }{cos^n(x-\frac{ \pi }{4} )} }=2^{-\frac{n}{2} }(\frac{sin(x-\frac{ \pi }{4})}{(n-1)cos^{n-1}(x-\frac{ \pi }{4}) }+\frac{n-2}{n-1}\int{\frac{d(x-\frac{ \pi }{4})}{cos^{n-2}(x-\frac{ \pi }{4}) } })=...[/math]

Автор:  neurocore [ 12 янв 2012, 18:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Integral

andrei, мне казалось, можно как-нить свести к бета-функции, как думаете?)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/