Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить тройной интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13256
Страница 1 из 1

Автор:  sidvisios [ 11 янв 2012, 23:59 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить тройной интеграл

Вычислить с помощью сферических или цилиндрических координат

Заранее всем благодарен

Вложения:
IMG_0240.JPG
IMG_0240.JPG [ 62.16 Кб | Просмотров: 48 ]

Автор:  neurocore [ 12 янв 2012, 10:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

Представьте шар радиуса 6, из него вырезали шар радиуса 2. И ещё отсекли плоскостью некоторой. Так вот, если вы перейдёте к сферическим, то там есть 2 угла: фи и пси. Как определить пределы интегрирования в повторном интеграле?

Рассматриваем произвольный луч из начала координат с углами фи, пси. В плоскости фи-пси изобразим схематично 3 области:
1) область, лучи которой пересекут сначала малую сферу, потом большую
2) область, лучи которой пересекут сначала малую сферу, затем плоскость
3) область, лучи которой - вне нужного объёма
для каждой из этих областей берём разные верхние и нижные предельные функции r1(фи, пси), r2(фи, пси).

Чтобы найти границы этих областей, преобразуйте уравнения к сферическим координатам и находите пересечения нужных тел - получите уравнения вида f(фи, пси)=0, исключая r

Автор:  sidvisios [ 12 янв 2012, 10:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

а можно готовым решением?

я подобные задания смотрел и пробовал решать по аналогии, ничего не получается...

Автор:  neurocore [ 12 янв 2012, 11:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

Аа, да тут всё проще, чёт я перегнул)) Если рассмотреть проекцию на xOy, то плоскость отображается в прямую [math]\[y = \sqrt 3 x\][/math], то есть она под углом [math]\[\frac{\pi }{6}\][/math] к оси Oy. Тогда заменой:

[math]\[\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \cos \psi \hfill \\ y = r\cos \varphi \sin \psi \hfill \\ z = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.\][/math]

получаем интеграл такой:

[math]\[\begin{gathered} \left| J \right| = r{\cos ^2}\varphi \hfill \\ \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = \frac{{{r^2}{{\cos }^2}\varphi {{\sin }^2}\psi }}{{{r^2}}} = {\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\psi \hfill \\ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {d\psi } \int\limits_2^6 {dr} *r{\cos ^4}\varphi {\sin ^2}\psi \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Интегралы-то, я надеюсь, вы считать умеете?)

Автор:  sidvisios [ 12 янв 2012, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

Спасибо

Автор:  sidvisios [ 12 янв 2012, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл

А интеграл, думаю смогу вычислить, вечером попробую, потом на форум отпишу)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/