| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| поиск интеграла с переходом к полярным координатам http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13192 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 21:08 ] | ||
| Заголовок сообщения: | поиск интеграла с переходом к полярным координатам | ||
Дорогие форумчане, срочно нужна помощь с этим примером, от него очень многое зависит кто-нибудь может помочь?
|
|||
| Автор: | arkadiikirsanov [ 10 янв 2012, 23:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
А что от него зависит? Наверное, мы его вам решим, вы сдуете решение и помчитесь обманывать препода, заявляя, что вы сами его решили. Препод подивится вашему уму и поставит вам НЕЗАСЛУЖЕННЫЙ зачет. Я угадал, или дадите мне вторую попытку? |
|
| Автор: | BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 23:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
нет, это только образец, я по аналогии буду самостоятельно решать подобный пример... просто я вообще не понимаю, как к этому примеру подступиться, каков алгоритм решения и тп
|
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 10 янв 2012, 23:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
Вот невезуха...не угадал и проспорил другу ящик кефиру... Теперь век на ентот кефир горбатиться буду... По теме: рисуете область, затем выпускаете из 0 лучи по всем направлениям и определяете те углы, выпущенные под которыми лучи задевают нарисованную область. Так вы получаете границы интегрирования по углу. А затем для каждого найденного угла определяете границы по радиусу, в которых выпущенный под этим углом луч пересекается с областью. Так вы находите границы интегрирования по радиусу. Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка. |
|
| Автор: | BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 23:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
arkadiikirsanov писал(а): Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка. К сожалению, это правда
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 15 янв 2012, 03:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
Преобразуем область [math]A[/math]: [math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math] То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1). Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math]. При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат: [math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math]. Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math] и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math] Вычислим двойной интеграл: [math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | BedniyStudent[c] [ 17 янв 2012, 02:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
Alexdemath писал(а): Преобразуем область [math]A[/math]: [math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math] То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1). Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math]. При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат: [math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math]. Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math] и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math] Вычислим двойной интеграл: [math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math] Спасибо огромное! а область B задействовать не надо?
|
|
| Автор: | Shaman [ 17 янв 2012, 08:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
BedniyStudent[c] писал(а): Спасибо огромное! а область B задействовать не надо?Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1). Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать. [math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math] Далее как в решении. |
|
| Автор: | BedniyStudent[c] [ 17 янв 2012, 20:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
Shaman писал(а): BedniyStudent[c] писал(а): Спасибо огромное! а область B задействовать не надо?Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1). Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать. [math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math] Далее как в решении. Да, именно в этом была ошибка. Проинтегрировал по этим областям и все получилось, ответ сошелся! Alexdemath и Shaman спасибо вам огромное!!! |
|
| Автор: | Alexdemath [ 18 янв 2012, 04:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам |
BedniyStudent Какой ответ должен получиться? Shaman писал(а): Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1). Не понимаю, как эта область может быть четвертью круга
|
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|