Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

поиск интеграла с переходом к полярным координатам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13192
Страница 1 из 2

Автор:  BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  поиск интеграла с переходом к полярным координатам

Дорогие форумчане, срочно нужна помощь с этим примером, от него очень многое зависит :o кто-нибудь может помочь?

Вложения:
.png
.png [ 10.47 Кб | Просмотров: 1754 ]

Автор:  arkadiikirsanov [ 10 янв 2012, 23:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

А что от него зависит?
Наверное, мы его вам решим, вы сдуете решение и помчитесь обманывать препода, заявляя, что вы сами его решили. Препод подивится вашему уму и поставит вам НЕЗАСЛУЖЕННЫЙ зачет.
Я угадал, или дадите мне вторую попытку?

Автор:  BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 23:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

нет, это только образец, я по аналогии буду самостоятельно решать подобный пример... просто я вообще не понимаю, как к этому примеру подступиться, каков алгоритм решения и тп :oops:

Автор:  arkadiikirsanov [ 10 янв 2012, 23:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

Вот невезуха...не угадал и проспорил другу ящик кефиру... Теперь век на ентот кефир горбатиться буду... :cry:
По теме: рисуете область, затем выпускаете из 0 лучи по всем направлениям и определяете те углы, выпущенные под которыми лучи задевают нарисованную область. Так вы получаете границы интегрирования по углу. А затем для каждого найденного угла определяете границы по радиусу, в которых выпущенный под этим углом луч пересекается с областью. Так вы находите границы интегрирования по радиусу.
Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка.

Автор:  BedniyStudent[c] [ 10 янв 2012, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

arkadiikirsanov писал(а):
Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка.

К сожалению, это правда :(

Автор:  Alexdemath [ 15 янв 2012, 03:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

Преобразуем область [math]A[/math]:

[math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math]

То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1).
Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math].
При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат:

[math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math].

Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math]
и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math]

Вычислим двойной интеграл:

[math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math]

Автор:  BedniyStudent[c] [ 17 янв 2012, 02:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

Alexdemath писал(а):
Преобразуем область [math]A[/math]:

[math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math]

То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1).
Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math].
При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат:

[math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math].

Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math]
и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math]

Вычислим двойной интеграл:

[math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math]

Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Автор:  Shaman [ 17 янв 2012, 08:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

BedniyStudent[c] писал(а):
Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).
Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать.
[math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math]
Далее как в решении.

Автор:  BedniyStudent[c] [ 17 янв 2012, 20:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

Shaman писал(а):
BedniyStudent[c] писал(а):
Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).
Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать.
[math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math]
Далее как в решении.


Да, именно в этом была ошибка. Проинтегрировал по этим областям и все получилось, ответ сошелся! Alexdemath и Shaman спасибо вам огромное!!!

Автор:  Alexdemath [ 18 янв 2012, 04:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам

BedniyStudent

Какой ответ должен получиться?

Shaman писал(а):
Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).

Не понимаю, как эта область может быть четвертью круга :( :oops:

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/