Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 янв 2012, 21:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 янв 2012, 03:12
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дорогие форумчане, срочно нужна помощь с этим примером, от него очень многое зависит :o кто-нибудь может помочь?

Вложения:
.png
.png [ 10.47 Кб | Просмотров: 1757 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 янв 2012, 23:11 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что от него зависит?
Наверное, мы его вам решим, вы сдуете решение и помчитесь обманывать препода, заявляя, что вы сами его решили. Препод подивится вашему уму и поставит вам НЕЗАСЛУЖЕННЫЙ зачет.
Я угадал, или дадите мне вторую попытку?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 янв 2012, 23:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 янв 2012, 03:12
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
нет, это только образец, я по аналогии буду самостоятельно решать подобный пример... просто я вообще не понимаю, как к этому примеру подступиться, каков алгоритм решения и тп :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 янв 2012, 23:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
11 май 2011, 16:52
Сообщений: 4429
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
1115 раз в 923 сообщениях
Очков репутации: 409

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот невезуха...не угадал и проспорил другу ящик кефиру... Теперь век на ентот кефир горбатиться буду... :cry:
По теме: рисуете область, затем выпускаете из 0 лучи по всем направлениям и определяете те углы, выпущенные под которыми лучи задевают нарисованную область. Так вы получаете границы интегрирования по углу. А затем для каждого найденного угла определяете границы по радиусу, в которых выпущенный под этим углом луч пересекается с областью. Так вы находите границы интегрирования по радиусу.
Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 янв 2012, 23:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 янв 2012, 03:12
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
arkadiikirsanov писал(а):
Во только, уверен, что все эти мои объяснения вы все равно не поймете. Тут нужен опыт и тренировка.

К сожалению, это правда :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 15 янв 2012, 03:15 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Преобразуем область [math]A[/math]:

[math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math]

То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1).
Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math].
При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат:

[math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math].

Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math]
и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math]

Вычислим двойной интеграл:

[math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
BedniyStudent[c]
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 17 янв 2012, 02:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 янв 2012, 03:12
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Преобразуем область [math]A[/math]:

[math]x^2+y^2+22\leqslant2y-10x~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + 10x + 25 + {y^2} - 2y + 1 \leqslant 4 ~~\Leftrightarrow~ {(x + 5)^2} + {(y - 1)^2} \leqslant {2^2}[/math]

То есть область [math]A[/math] представляет собой круг радиуса 2 с центром в точке (-5;1).
Следовательно, область [math]D[/math] - это первая четверть круга [math](x+5)^2+(y-1)^2\leqslant2^2[/math].
При переходе к полярным координатам сместим центр круга [math]A[/math] в начало координат:

[math]\begin{cases}x+5= r\cos\varphi,\\y-1=r\sin\varphi.\end{cases}[/math] Модуль якобиана: [math]|J|=r[/math].

Следовательно, [math]D \to D^{\ast}= \left\{(r,\varphi)\colon\,0 \leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2},~ 0\leqslant r\leqslant2\right\}[/math]
и подынтегральная функция примет вид [math]x + 5y \to r\cos \varphi - 5 + 5(r\sin \varphi + 1) = (\cos \varphi + 5\sin \varphi )r[/math]

Вычислим двойной интеграл:

[math]\begin{aligned}\iint\limits_{D^{\ast}}(x + 5y)\,dxdy&= \int\limits_0^{\pi/2}\Bigl(\cos\varphi+5\sin\varphi\Bigr)\,d\varphi \int\limits_0^2 r^2\,dr=\\[2pt] &=\left.{\Bigl(\sin\varphi- 5\cos \varphi\Bigr) \right|_0^{\pi/2}\cdot \left.{\frac{1}{3}\,r^3}\right|_0^2 =\\[2pt] &=\Bigl[1-0-(0-5)\Bigr]\cdot \frac{8}{3}= 6\cdot\frac{8}{3}=16\end{aligned}[/math]

Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 17 янв 2012, 08:00 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
BedniyStudent[c] писал(а):
Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).
Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать.
[math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math]
Далее как в решении.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Shaman "Спасибо" сказали:
Alexdemath, BedniyStudent[c]
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 17 янв 2012, 20:44 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 янв 2012, 03:12
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Shaman писал(а):
BedniyStudent[c] писал(а):
Спасибо огромное! :beer: а область B задействовать не надо?

Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).
Так как D = A \ B, то D это не четверть, а три четверти круга. По ним, наверное, и надо интегрировать.
[math]\int\limits_\pi ^{\frac{{\pi \cdot 5}}{2}} {...}[/math]
Далее как в решении.


Да, именно в этом была ошибка. Проинтегрировал по этим областям и все получилось, ответ сошелся! Alexdemath и Shaman спасибо вам огромное!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: поиск интеграла с переходом к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 04:53 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
BedniyStudent

Какой ответ должен получиться?

Shaman писал(а):
Предполагаю, что область B - это четверть круга, и условие надо понимать так: (x<=-5 & y>=1).

Не понимаю, как эта область может быть четвертью круга :( :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Двойной интеграл с переходом к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

[anastasiyaCH]

7

491

25 ноя 2015, 19:55

Переход двойного интеграла к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

abakumovs

6

352

01 апр 2020, 16:00

Вычисление интеграла с переходом в полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

NN22

4

384

19 апр 2023, 17:07

Переход к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

1

170

24 окт 2017, 10:37

Переход к полярным координатам

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

chicken

2

159

07 дек 2018, 10:45

Перейти к полярным координатам

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Adel2015

3

245

02 дек 2016, 23:06

Перейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Arno

0

306

13 апр 2015, 01:36

ПеРейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

nastichka____

1

204

08 дек 2018, 18:40

ПеРейти к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

nastichka____

3

206

27 ноя 2018, 21:16

Переход к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

5

284

26 сен 2018, 16:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved