Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13071
Страница 1 из 1

Автор:  LWGBBD [ 08 янв 2012, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)

Проверьте, пожалуйста, верно ли решение
Больше всего я сомневаюсь, что правильно выбрала пределы интегрирования (так как выбирала их практически интуитивно)

Условие:
Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам.
[math]\iint\limits_D {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy}[/math], если [math]D:{x^2} + {y^2} \leqslant 6x[/math]

Решение:
Используя формулу:
[math]\iint\limits_D {f\left( {x,y} \right)dxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdrd\phi } = \int\limits_\alpha ^\beta {d\phi } \int\limits_{{r_1}\left( \phi \right)}^{{r_2}\left( \phi \right)} {f\left( {r \cdot \cos \phi ,r \cdot \sin \phi } \right) \cdot rdr}[/math]
, где
[math]D[/math] - область в декартовой системе координат.
[math]{D^*}[/math] - область в полярной системе координат.
[math]\alpha \leqslant \phi \leqslant \beta[/math]
[math]{r_1}\left( \phi \right) \leqslant r \leqslant {r_2}\left( \phi \right)[/math]

Получаем:
[math]\iint\limits_D {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dxdy} = \iint\limits_{{D^*}} {\left( {{r^2} \cdot {{\cos }^2}\phi + {r^2} \cdot {{\sin }^2}\phi } \right) \cdot rdrd\phi } = \iint\limits_{{D^*}} {\left( {{r^2} \cdot \left( {{{\cos }^2}\phi + {{\sin }^2}\phi } \right)} \right) \cdot rdrd\phi } = \iint\limits_{{D^*}} {{r^3}drd\phi }[/math]

Областью интегрирования является окружность
Найдем пределы интегрирования
[math]{D^*}:{r^2} \cdot {\cos ^2}\phi + {r^2} \cdot {\sin ^2}\phi \leqslant 6r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \cdot \left( {{{\cos }^2}\phi + {{\sin }^2}\phi } \right) \leqslant 6r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:{r^2} \leqslant 6r \cdot \cos \phi[/math]
[math]{D^*}:r \leqslant 6\cos \phi[/math]
Следовательно
[math]- \frac{\pi }{2} \leqslant \phi \leqslant \frac{\pi }{2}[/math]
[math]0 \leqslant r \leqslant 6\cos \phi[/math]

[math]\iint\limits_{{D^*}} {{r^3}drd\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\phi } \int\limits_0^{6\cos \phi } {{r^3}dr} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left. {\frac{{{r^4}}}{4}} \right|_0^{6\cos \phi }d\phi } = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\left( {6\cos \phi } \right)}^4}}}{4}d\phi } = 324\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^4}\phi d\phi } =[/math]

[math]= 324\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {{{\cos }^2}\phi } \right)}^2}d\phi } = 324\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {\frac{{1 + \cos 2\phi }}{2}} \right)}^2}d\phi } = \frac{{324}}{4}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\left( {1 + \cos 2\phi } \right)}^2}d\phi } =[/math]

[math]= 81\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + 2\cos 2\phi + {{\cos }^2}2\phi } \right)d\phi } = 81\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + 2\cos 2\phi + \frac{{1 + \cos 4\phi }}{2}} \right)d\phi } =[/math]

[math]= 81\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{3}{2} + 2\cos 2\phi + \frac{{\cos 4\phi }}{2}} \right)d\phi } = 81\left. {\left( {\frac{3}{2}\phi + 2 \cdot \frac{1}{2}\sin 2\phi + \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sin 4\phi }}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} =[/math]

[math]= 81\left( {\frac{{3\pi }}{4} + \sin \pi + \frac{{\sin 2\pi }}{8} - \left( { - \frac{{3\pi }}{4} + \sin ( - \pi ) + \frac{{\sin \left( { - 2\pi } \right)}}{8}} \right)} \right) = 81\left( {\frac{{3\pi }}{4} + 0 + \frac{0}{8} + \frac{{3\pi }}{4} + 0 + \frac{0}{8}} \right) =[/math]

[math]= \frac{{81 \cdot 2 \cdot 3\pi }}{4} = \frac{{243\pi }}{2} = 121,5\pi[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 08 янв 2012, 22:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл в полярных координатах. (Верно ли)

Переход в полярные координаты выполнен верно, дальше вычисления - не проверял.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/