| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13063 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | neurocore [ 08 янв 2012, 17:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом |
Ну если речь идёт об объёме тела, то тройной однозначно (можно, конечно, через двойной выразить, но это будет полнейшее извращение). А говорит не так, скорее всего, потому, что надо сделать замену сферическую. Покажите ваше решение |
|
| Автор: | Dazzy11 [ 08 янв 2012, 17:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом |
Решение взял с форума: может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах? я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 09 янв 2012, 02:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом |
Dazzy11 писал(а): может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах? я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус Вот верное решение Обозначим (для краткости) [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = a > 0[/math]. Найдём проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math]: [math]\left\{\!\begin{gathered}2z = a, \hfill \\z^2= a \hfill\end{gathered}\right.~~\Rightarrow~~\! \left(\frac{a}{2}\right)^2= a~~ \Rightarrow~~{a^2} - 4a = 0~~ \Rightarrow~~ a = 4[/math] Итак, проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является эллипс [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 4 \Leftrightarrow \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1[/math] с полуосями [math]a=4,~b=6[/math]. Запишем множество точек [math](T)[/math], которое ограничивают данные поверхности, в виде неравенств: [math]T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon~\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \leqslant 2^2,~\frac{1}{2}\!\left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}\right) \leqslant z \leqslant \sqrt {\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}}\right\}[/math] Запишем множество [math]T[/math] в обобщённых цилиндрических координатах: [math]x = 2r\cos \varphi,\quad y = 3r\sin \varphi ,\quad z = z,\quad |J| = 2 \cdot 3 \cdot r[/math] [math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi ,z)\in\mathbb{R}^3\colon~ 0 \leqslant r \leqslant 2,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~\frac{1}{2}r^2\leqslant z \leqslant r\right\}[/math] Вычислим искомый объём тела с помощью тройного интеграла: [math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_T dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}} |J|\,dr\,d\varphi\,dz= 6\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 {rdr} \int\limits_{r^2/2}^r {dz}=\\[5pt] &=6\int\limits_0^{2\pi} {d\varphi } \int\limits_0^2 r\!\left(r - \frac{r^2}{2}\right)\!dr= \left.{12\pi\!\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{8}\right)}\right|_0^2 = 12\pi\!\left(\frac{8}{3}-2\right)=8\pi\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Dazzy11 [ 16 янв 2012, 19:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом |
Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:( |
|
| Автор: | vvvv [ 16 янв 2012, 19:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом |
Dazzy11 писал(а): Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:( А сами вы способны что-либо написать? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|