Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13063
Страница 1 из 1

Автор:  Dazzy11 [ 08 янв 2012, 16:52 ]
Заголовок сообщения:  вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
Изображение
можно ли найти этот объем не используя тройной интеграл? а то препод прям не хочет принимать, говорит не так :'(

Автор:  neurocore [ 08 янв 2012, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Ну если речь идёт об объёме тела, то тройной однозначно (можно, конечно, через двойной выразить, но это будет полнейшее извращение). А говорит не так, скорее всего, потому, что надо сделать замену сферическую. Покажите ваше решение

Автор:  Dazzy11 [ 08 янв 2012, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Решение взял с форума:

может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах?
я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус :cry:

Автор:  vvvv [ 08 янв 2012, 22:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Здесь ответ будет 8pi.
Проще всего посчитать как разность двух объемов - конуса с высотой 2 и эллиптического параболоита с высотой также два.
Объм конуса можно посчитать по элементарной формуле (1/3)pi*a*b, абъем параболоида с помощью двойного или тройного интеграла (в декартовых координатах легко интегрируется). См.картинку
Изображение

Автор:  Alexdemath [ 09 янв 2012, 02:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Dazzy11 писал(а):
может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах?
я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус

Вот верное решение

Обозначим (для краткости) [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = a > 0[/math]. Найдём проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math]:

[math]\left\{\!\begin{gathered}2z = a, \hfill \\z^2= a \hfill\end{gathered}\right.~~\Rightarrow~~\! \left(\frac{a}{2}\right)^2= a~~ \Rightarrow~~{a^2} - 4a = 0~~ \Rightarrow~~ a = 4[/math]

Итак, проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является эллипс [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 4 \Leftrightarrow \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1[/math] с полуосями [math]a=4,~b=6[/math].

Запишем множество точек [math](T)[/math], которое ограничивают данные поверхности, в виде неравенств:

[math]T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon~\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \leqslant 2^2,~\frac{1}{2}\!\left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}\right) \leqslant z \leqslant \sqrt {\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}}\right\}[/math]

Запишем множество [math]T[/math] в обобщённых цилиндрических координатах:

[math]x = 2r\cos \varphi,\quad y = 3r\sin \varphi ,\quad z = z,\quad |J| = 2 \cdot 3 \cdot r[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi ,z)\in\mathbb{R}^3\colon~ 0 \leqslant r \leqslant 2,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~\frac{1}{2}r^2\leqslant z \leqslant r\right\}[/math]

Вычислим искомый объём тела с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_T dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}} |J|\,dr\,d\varphi\,dz= 6\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 {rdr} \int\limits_{r^2/2}^r {dz}=\\[5pt] &=6\int\limits_0^{2\pi} {d\varphi } \int\limits_0^2 r\!\left(r - \frac{r^2}{2}\right)\!dr= \left.{12\pi\!\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{8}\right)}\right|_0^2 = 12\pi\!\left(\frac{8}{3}-2\right)=8\pi\end{aligned}[/math]

Автор:  Dazzy11 [ 16 янв 2012, 19:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:(

Автор:  vvvv [ 16 янв 2012, 19:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

Dazzy11 писал(а):
Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:(

А сами вы способны что-либо написать?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/