Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 16:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 14:39
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
Изображение
можно ли найти этот объем не используя тройной интеграл? а то препод прям не хочет принимать, говорит не так :'(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 17:02 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну если речь идёт об объёме тела, то тройной однозначно (можно, конечно, через двойной выразить, но это будет полнейшее извращение). А говорит не так, скорее всего, потому, что надо сделать замену сферическую. Покажите ваше решение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 17:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 14:39
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Решение взял с форума:

может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах?
я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 22:55 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь ответ будет 8pi.
Проще всего посчитать как разность двух объемов - конуса с высотой 2 и эллиптического параболоита с высотой также два.
Объм конуса можно посчитать по элементарной формуле (1/3)pi*a*b, абъем параболоида с помощью двойного или тройного интеграла (в декартовых координатах легко интегрируется). См.картинку
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю vvvv "Спасибо" сказали:
Dazzy11
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 02:42 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dazzy11 писал(а):
может нужно было не в полярных? а в цилиндрических координатах?
я сделал как написано выше, но препод на все решение поставил огромный вопрос и большой минус

Вот верное решение

Обозначим (для краткости) [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = a > 0[/math]. Найдём проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math]:

[math]\left\{\!\begin{gathered}2z = a, \hfill \\z^2= a \hfill\end{gathered}\right.~~\Rightarrow~~\! \left(\frac{a}{2}\right)^2= a~~ \Rightarrow~~{a^2} - 4a = 0~~ \Rightarrow~~ a = 4[/math]

Итак, проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является эллипс [math]\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 4 \Leftrightarrow \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{6^2} = 1[/math] с полуосями [math]a=4,~b=6[/math].

Запишем множество точек [math](T)[/math], которое ограничивают данные поверхности, в виде неравенств:

[math]T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon~\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9} \leqslant 2^2,~\frac{1}{2}\!\left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}\right) \leqslant z \leqslant \sqrt {\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}}\right\}[/math]

Запишем множество [math]T[/math] в обобщённых цилиндрических координатах:

[math]x = 2r\cos \varphi,\quad y = 3r\sin \varphi ,\quad z = z,\quad |J| = 2 \cdot 3 \cdot r[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi ,z)\in\mathbb{R}^3\colon~ 0 \leqslant r \leqslant 2,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~\frac{1}{2}r^2\leqslant z \leqslant r\right\}[/math]

Вычислим искомый объём тела с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_T dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}} |J|\,dr\,d\varphi\,dz= 6\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 {rdr} \int\limits_{r^2/2}^r {dz}=\\[5pt] &=6\int\limits_0^{2\pi} {d\varphi } \int\limits_0^2 r\!\left(r - \frac{r^2}{2}\right)\!dr= \left.{12\pi\!\left(\frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{8}\right)}\right|_0^2 = 12\pi\!\left(\frac{8}{3}-2\right)=8\pi\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Dazzy11
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 16 янв 2012, 19:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 янв 2012, 14:39
Сообщений: 17
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом
СообщениеДобавлено: 16 янв 2012, 19:59 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
24 апр 2010, 23:33
Сообщений: 3391
Cпасибо сказано: 246
Спасибо получено:
1010 раз в 872 сообщениях
Очков репутации: 273

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Dazzy11 писал(а):
Здравствуйте, напишите пожалуйста решение этой задачи через площадь поперечного сечения, а то препод не хочет принимать решение через тройной интеграл:(

А сами вы способны что-либо написать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найдите объём тела, ограниченного конусом

в форуме Интегральное исчисление

xzkakoinick

1

187

17 май 2021, 19:22

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

DenZelll

5

233

03 окт 2020, 17:58

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

sd2380

3

330

29 авг 2020, 11:33

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Cartel

2

620

31 окт 2018, 10:28

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

LaZStoner

1

726

26 ноя 2015, 23:45

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Eli

6

449

14 янв 2018, 23:22

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Tuxedomask

9

407

15 окт 2017, 15:51

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

351w

5

360

15 апр 2019, 22:57

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Artem1992

11

571

04 окт 2017, 13:31

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

nanaHIN00

21

515

22 апр 2019, 18:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved