| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл, введение параметра. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13060 |
Страница 3 из 4 |
| Автор: | andrei [ 08 янв 2012, 23:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Лучше второй вариант.Но придётся повозиться - получится бешеное выражение.
|
|
| Автор: | MSt [ 08 янв 2012, 23:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Мне кажется, это бешеное выражение потом ни к чему хорошему не сведется. Так что надо пробовать другие варианты:) |
|
| Автор: | andrei [ 08 янв 2012, 23:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Раз интеграл нельзя взять напрямую,то и разложение после интегрирования похоже нельзя суммировать к какой либо формуле Потому я и сказал Вам,что можно считать до нужного предела точности
|
|
| Автор: | MSt [ 08 янв 2012, 23:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Мне кажется, его можно взять напрямую, или в крайнем случае свести к известным интегралам, которые не берутся в элементарых функциях. |
|
| Автор: | andrei [ 09 янв 2012, 00:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Одна мысль меня посетила.Но уже поздно-завтра проверю. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 янв 2012, 00:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Получается что-то очень длинное и нудное Разобьём промежуток интегрирования на два [math]\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] и [math]\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right][/math]. В интеграле по второму промежутку выполним замену переменной [math]x = \pi - t[/math]. Исходный интеграл преобразуем к виду [math]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {5 - 4\cos x} \right)dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 t\;\ln \left( {5 + 4\cos t} \right)dt} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - 16\cos ^2 x} \right)dx}[/math] Введём параметр [math]a[/math], и рассмотрим интеграл [math]I\left( a \right) = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - a\cos ^2 x} \right)dx}[/math] Отметим, что при [math]a=0[/math] имеем [math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math] Далее много счёта (возможны ошибки) [math]I'\left( a \right) = \frac{1}{a}\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\frac{{25 - a\cos ^2 x - 25}}{{25 - a\cos ^2 x}}dx} = ... = \frac{\pi }{{4a}} + \frac{{25\pi }}{{2a^2 }} - \frac{{125\pi }}{{2a^2 \sqrt {25 - a} }}[/math] Интегрируем [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) + C[/math] Константу C находим из начального условия. В результате [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2[/math] Отсюда [math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{5}{{16}}} \right)[/math] Где-то вкралась ошибка, т.к. Mathematica выдала [math]I = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math] Можно проверить численно, да время позднее. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 янв 2012, 08:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
При вычислении значения константы [math]C[/math] вкралась ошибка. Правильно так [math]\mathop {\lim }\limits_{a \to + 0} I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln 100 - \frac{\pi }{4} + C[/math] Т.к. [math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math] то [math]C = - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math] и [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math] Поэтому [math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math] |
|
| Автор: | MSt [ 09 янв 2012, 10:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Большое спасибо, Procop! У меня только такой вопрос, как Вы получили [math]\[ - \frac{{125\pi }}{{2{a^2}\sqrt {25 - a} }}\][/math] когда считали [math]\[I'\left( a \right)\][/math]? То есть вопрос в том, как посчитать, чему равен интеграл [math]\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{25 - a*{{\cos }^2}x}}} \][/math]. У вас он по сути получился равным [math]\[\frac{\pi }{{2\sqrt {25 - a} }}\][/math] А у меня с помощью замены [math]\[t = tg\frac{x}{2}\][/math] получается что-то слишком громоздкое. |
|
| Автор: | Prokop [ 09 янв 2012, 10:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]t = \operatorname{tg} x[/math] |
|
| Автор: | MSt [ 09 янв 2012, 10:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл, введение параметра. |
Да, точно, я уже понял:) У меня почти то же самое, что и у Вас получилось, только еще деленное на 5. |
|
| Страница 3 из 4 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|