Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл, введение параметра.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13060
Страница 3 из 4

Автор:  andrei [ 08 янв 2012, 23:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Лучше второй вариант.Но придётся повозиться - получится бешеное выражение. :D1

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 23:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Мне кажется, это бешеное выражение потом ни к чему хорошему не сведется.
Так что надо пробовать другие варианты:)

Автор:  andrei [ 08 янв 2012, 23:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Раз интеграл нельзя взять напрямую,то и разложение после интегрирования похоже нельзя суммировать к какой либо формуле :) Потому я и сказал Вам,что можно считать до нужного предела точности :)

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 23:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Мне кажется, его можно взять напрямую, или в крайнем случае свести к известным интегралам, которые не берутся в элементарых функциях.

Автор:  andrei [ 09 янв 2012, 00:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Одна мысль меня посетила.Но уже поздно-завтра проверю.

Автор:  Prokop [ 09 янв 2012, 00:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Получается что-то очень длинное и нудное
Разобьём промежуток интегрирования на два [math]\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] и [math]\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right][/math]. В интеграле по второму промежутку выполним замену переменной [math]x = \pi - t[/math]. Исходный интеграл преобразуем к виду
[math]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {5 - 4\cos x} \right)dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 t\;\ln \left( {5 + 4\cos t} \right)dt} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - 16\cos ^2 x} \right)dx}[/math]
Введём параметр [math]a[/math], и рассмотрим интеграл
[math]I\left( a \right) = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - a\cos ^2 x} \right)dx}[/math]
Отметим, что при [math]a=0[/math] имеем
[math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math]
Далее много счёта (возможны ошибки)
[math]I'\left( a \right) = \frac{1}{a}\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\frac{{25 - a\cos ^2 x - 25}}{{25 - a\cos ^2 x}}dx} = ... = \frac{\pi }{{4a}} + \frac{{25\pi }}{{2a^2 }} - \frac{{125\pi }}{{2a^2 \sqrt {25 - a} }}[/math]
Интегрируем
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) + C[/math]
Константу C находим из начального условия. В результате
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2[/math]
Отсюда
[math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{5}{{16}}} \right)[/math]
Где-то вкралась ошибка, т.к. Mathematica выдала
[math]I = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math]
Можно проверить численно, да время позднее.

Автор:  Prokop [ 09 янв 2012, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

При вычислении значения константы [math]C[/math] вкралась ошибка. Правильно так
[math]\mathop {\lim }\limits_{a \to + 0} I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln 100 - \frac{\pi }{4} + C[/math]
Т.к.
[math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math]
то
[math]C = - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math]
и
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math]
Поэтому
[math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math]

Автор:  MSt [ 09 янв 2012, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Большое спасибо, Procop!

У меня только такой вопрос, как Вы получили [math]\[ - \frac{{125\pi }}{{2{a^2}\sqrt {25 - a} }}\][/math] когда считали [math]\[I'\left( a \right)\][/math]?
То есть вопрос в том, как посчитать, чему равен интеграл [math]\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{25 - a*{{\cos }^2}x}}} \][/math]. У вас он по сути получился равным [math]\[\frac{\pi }{{2\sqrt {25 - a} }}\][/math]
А у меня с помощью замены [math]\[t = tg\frac{x}{2}\][/math] получается что-то слишком громоздкое.

Автор:  Prokop [ 09 янв 2012, 10:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Стандартная тригонометрическая подстановка [math]t = \operatorname{tg} x[/math]

Автор:  MSt [ 09 янв 2012, 10:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Да, точно, я уже понял:)
У меня почти то же самое, что и у Вас получилось, только еще деленное на 5.

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/