Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 23:19 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Лучше второй вариант.Но придётся повозиться - получится бешеное выражение. :D1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 23:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 окт 2011, 23:11
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, это бешеное выражение потом ни к чему хорошему не сведется.
Так что надо пробовать другие варианты:)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 23:49 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Раз интеграл нельзя взять напрямую,то и разложение после интегрирования похоже нельзя суммировать к какой либо формуле :) Потому я и сказал Вам,что можно считать до нужного предела точности :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 08 янв 2012, 23:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 окт 2011, 23:11
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне кажется, его можно взять напрямую, или в крайнем случае свести к известным интегралам, которые не берутся в элементарых функциях.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 00:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 май 2011, 10:27
Сообщений: 7856
Cпасибо сказано: 629
Спасибо получено:
7057 раз в 5487 сообщениях
Очков репутации: 317

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Одна мысль меня посетила.Но уже поздно-завтра проверю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 00:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Получается что-то очень длинное и нудное
Разобьём промежуток интегрирования на два [math]\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] и [math]\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right][/math]. В интеграле по второму промежутку выполним замену переменной [math]x = \pi - t[/math]. Исходный интеграл преобразуем к виду
[math]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {5 - 4\cos x} \right)dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 t\;\ln \left( {5 + 4\cos t} \right)dt} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - 16\cos ^2 x} \right)dx}[/math]
Введём параметр [math]a[/math], и рассмотрим интеграл
[math]I\left( a \right) = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - a\cos ^2 x} \right)dx}[/math]
Отметим, что при [math]a=0[/math] имеем
[math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math]
Далее много счёта (возможны ошибки)
[math]I'\left( a \right) = \frac{1}{a}\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\frac{{25 - a\cos ^2 x - 25}}{{25 - a\cos ^2 x}}dx} = ... = \frac{\pi }{{4a}} + \frac{{25\pi }}{{2a^2 }} - \frac{{125\pi }}{{2a^2 \sqrt {25 - a} }}[/math]
Интегрируем
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) + C[/math]
Константу C находим из начального условия. В результате
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2[/math]
Отсюда
[math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{5}{{16}}} \right)[/math]
Где-то вкралась ошибка, т.к. Mathematica выдала
[math]I = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math]
Можно проверить численно, да время позднее.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
MSt
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 08:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При вычислении значения константы [math]C[/math] вкралась ошибка. Правильно так
[math]\mathop {\lim }\limits_{a \to + 0} I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln 100 - \frac{\pi }{4} + C[/math]
Т.к.
[math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math]
то
[math]C = - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math]
и
[math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math]
Поэтому
[math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
andrei, MSt
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 10:20 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 окт 2011, 23:11
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо, Procop!

У меня только такой вопрос, как Вы получили [math]\[ - \frac{{125\pi }}{{2{a^2}\sqrt {25 - a} }}\][/math] когда считали [math]\[I'\left( a \right)\][/math]?
То есть вопрос в том, как посчитать, чему равен интеграл [math]\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{25 - a*{{\cos }^2}x}}} \][/math]. У вас он по сути получился равным [math]\[\frac{\pi }{{2\sqrt {25 - a} }}\][/math]
А у меня с помощью замены [math]\[t = tg\frac{x}{2}\][/math] получается что-то слишком громоздкое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 10:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]t = \operatorname{tg} x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл, введение параметра.
СообщениеДобавлено: 09 янв 2012, 10:45 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 окт 2011, 23:11
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, точно, я уже понял:)
У меня почти то же самое, что и у Вас получилось, только еще деленное на 5.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 3 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

TopAxeee

2

169

29 ноя 2020, 17:19

Интеграл , зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Finn_parnichka

15

511

29 май 2018, 01:05

Интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

khammisha

5

243

11 янв 2018, 15:35

Несобственный интеграл от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Derevyashka

6

309

19 дек 2018, 19:31

Интеграл зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Phoeniks

5

413

31 мар 2016, 11:10

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Stasya7

0

257

08 июн 2015, 21:45

Несобственный интеграл зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

nngurf

6

483

22 май 2016, 10:51

Вычислить интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

MathSamurai

5

523

05 апр 2020, 01:34

Несобственный интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Pixelbug

24

624

15 май 2022, 15:51

Вычислить несобственных интеграл, зависящий от параметра

в форуме Интегральное исчисление

Derevyashka

10

431

09 дек 2018, 18:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved