Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 3 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| andrei |
|
|
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| MSt |
|
|
|
Мне кажется, это бешеное выражение потом ни к чему хорошему не сведется.
Так что надо пробовать другие варианты:) |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Раз интеграл нельзя взять напрямую,то и разложение после интегрирования похоже нельзя суммировать к какой либо формуле
Потому я и сказал Вам,что можно считать до нужного предела точности ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| MSt |
|
|
|
Мне кажется, его можно взять напрямую, или в крайнем случае свести к известным интегралам, которые не берутся в элементарых функциях.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Одна мысль меня посетила.Но уже поздно-завтра проверю.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Получается что-то очень длинное и нудное
Разобьём промежуток интегрирования на два [math]\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math] и [math]\left[ {\frac{\pi }{2},\pi } \right][/math]. В интеграле по второму промежутку выполним замену переменной [math]x = \pi - t[/math]. Исходный интеграл преобразуем к виду [math]I = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {5 - 4\cos x} \right)dx} + \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 t\;\ln \left( {5 + 4\cos t} \right)dt} = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - 16\cos ^2 x} \right)dx}[/math] Введём параметр [math]a[/math], и рассмотрим интеграл [math]I\left( a \right) = \int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\ln \left( {25 - a\cos ^2 x} \right)dx}[/math] Отметим, что при [math]a=0[/math] имеем [math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math] Далее много счёта (возможны ошибки) [math]I'\left( a \right) = \frac{1}{a}\int\limits_0^{\pi /2} {\cos ^2 x\;\frac{{25 - a\cos ^2 x - 25}}{{25 - a\cos ^2 x}}dx} = ... = \frac{\pi }{{4a}} + \frac{{25\pi }}{{2a^2 }} - \frac{{125\pi }}{{2a^2 \sqrt {25 - a} }}[/math] Интегрируем [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) + C[/math] Константу C находим из начального условия. В результате [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2[/math] Отсюда [math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{5}{{16}}} \right)[/math] Где-то вкралась ошибка, т.к. Mathematica выдала [math]I = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math] Можно проверить численно, да время позднее. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: MSt |
||
| Prokop |
|
|
|
При вычислении значения константы [math]C[/math] вкралась ошибка. Правильно так
[math]\mathop {\lim }\limits_{a \to + 0} I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln 100 - \frac{\pi }{4} + C[/math] Т.к. [math]I\left( 0 \right) = \frac{\pi }{4}\ln 25[/math] то [math]C = - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math] и [math]I\left( a \right) = \frac{\pi }{4}\ln \left| a \right| - \frac{{25\pi }}{{2a}} + \frac{\pi }{4}\left( {\ln \left| {\frac{{\sqrt {25 - a} + 5}}{{\sqrt {25 - a} - 5}}} \right| + \frac{{10\sqrt {25 - a} }}{a}} \right) - \frac{\pi }{2}\ln 2 + \frac{\pi }{4}[/math] Поэтому [math]I = I\left( {16} \right) = \pi \left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}}} \right)[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: andrei, MSt |
||
| MSt |
|
|
|
Большое спасибо, Procop!
У меня только такой вопрос, как Вы получили [math]\[ - \frac{{125\pi }}{{2{a^2}\sqrt {25 - a} }}\][/math] когда считали [math]\[I'\left( a \right)\][/math]? То есть вопрос в том, как посчитать, чему равен интеграл [math]\[\int\limits_0^{\pi /2} {\frac{{dx}}{{25 - a*{{\cos }^2}x}}} \][/math]. У вас он по сути получился равным [math]\[\frac{\pi }{{2\sqrt {25 - a} }}\][/math] А у меня с помощью замены [math]\[t = tg\frac{x}{2}\][/math] получается что-то слишком громоздкое. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
Стандартная тригонометрическая подстановка [math]t = \operatorname{tg} x[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| MSt |
|
|
|
Да, точно, я уже понял:)
У меня почти то же самое, что и у Вас получилось, только еще деленное на 5. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |