Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл, введение параметра.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13060
Страница 1 из 4

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 16:47 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл, введение параметра.

Мне срочно нужна помощь!!!
Подскажите, пожалуйста, как берется такой интеграл?
[math]\int_0^\pi {{{\cos }^2}(x)*\ln (5 - 4\cos (x))dx}[/math]
Я пытался вводить параметры разными способами, чтобы убить логарифм дифференциированием, но почему-то у меня ни при какой попытке не получилось довести до ответа.

Автор:  aero [ 08 янв 2012, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

интегрирование по частям?

Автор:  neurocore [ 08 янв 2012, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

[math]\[\begin{gathered} f(a) = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x*\ln (a - 4\cos x)dx} \hfill \\ f'(a) = \frac{\partial }{{\partial a}}(\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x*\ln (a - 4\cos x)dx} ) = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x\frac{{4\sin x}}{{a - 4\cos x}}dx} = - 4\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x\frac{{d(\cos x)}}{{a - 4\cos x}}} = \hfill \\ = \left| {t = \cos x} \right| = - 4\int\limits_1^{ - 1} {\frac{{{t^2}dt}}{{a - 4t}}} = 4\int\limits_{ - 1}^1 {( - \frac{1}{4}t - \frac{a}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}*\frac{1}{{a - 4t}})} dt = 4( - \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{at}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a - 4t))\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = 4( - \frac{a}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a - 4)) - 4(\frac{a}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a + 4)) = - \frac{a}{2} + \frac{{{a^2}}}{8}\ln \frac{{a + 4}}{{a - 4}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Чёт не особо легче стало, но всё же производная функции ф по а интегрируется по частям)

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 17:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Нет, подождите, Вы, кажется, неправильно продифференциировали, надо же по a, а не по x, поэтому в числителе [math]4*sin(x)[/math] не вылезает.
А интегрирование по частям, по-моему, не помогает тут.
Так что вопрос остается открытым)

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 18:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Я очень рассчитываю на вашу помощь!!!!!!!
У самого до сих пор никак не получилось, а позарез надо.

Автор:  andrei [ 08 янв 2012, 21:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Похоже этот интеграл не берётся в элементарных функциях.Можно сделать следующее - произвести замену переменных подстановкой [math]z=cos(x)[/math],потом разложить дробь [math]\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2} }[/math] в ряд,и после этого уже интегрировать почленно.

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Andrei, а как разложить такую дробь в ряд?

Автор:  andrei [ 08 янв 2012, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

по биному Ньютона :)

Автор:  MSt [ 08 янв 2012, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Это я так сильно туплю, или Вы пошутили?:)

Автор:  andrei [ 08 янв 2012, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл, введение параметра.

Серьёзно.Бином ньютона верен и для дробных степеней.Покажу на примере.
[math](1-x^2)^{-1/2} =1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^4+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^6 +[/math]

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/