Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
MSt |
|
|
Подскажите, пожалуйста, как берется такой интеграл? [math]\int_0^\pi {{{\cos }^2}(x)*\ln (5 - 4\cos (x))dx}[/math] Я пытался вводить параметры разными способами, чтобы убить логарифм дифференциированием, но почему-то у меня ни при какой попытке не получилось довести до ответа. |
||
Вернуться к началу | ||
aero |
|
|
интегрирование по частям?
|
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
[math]\[\begin{gathered} f(a) = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x*\ln (a - 4\cos x)dx} \hfill \\ f'(a) = \frac{\partial }{{\partial a}}(\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x*\ln (a - 4\cos x)dx} ) = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x\frac{{4\sin x}}{{a - 4\cos x}}dx} = - 4\int\limits_0^\pi {{{\cos }^2}x\frac{{d(\cos x)}}{{a - 4\cos x}}} = \hfill \\ = \left| {t = \cos x} \right| = - 4\int\limits_1^{ - 1} {\frac{{{t^2}dt}}{{a - 4t}}} = 4\int\limits_{ - 1}^1 {( - \frac{1}{4}t - \frac{a}{{16}} + \frac{{{a^2}}}{{16}}*\frac{1}{{a - 4t}})} dt = 4( - \frac{{{t^2}}}{2} - \frac{{at}}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a - 4t))\left| \begin{gathered} 1 \hfill \\ - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = 4( - \frac{a}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a - 4)) - 4(\frac{a}{{16}} - \frac{{{a^2}}}{{64}}\ln (a + 4)) = - \frac{a}{2} + \frac{{{a^2}}}{8}\ln \frac{{a + 4}}{{a - 4}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
Чёт не особо легче стало, но всё же производная функции ф по а интегрируется по частям) |
||
Вернуться к началу | ||
MSt |
|
|
Нет, подождите, Вы, кажется, неправильно продифференциировали, надо же по a, а не по x, поэтому в числителе [math]4*sin(x)[/math] не вылезает.
А интегрирование по частям, по-моему, не помогает тут. Так что вопрос остается открытым) |
||
Вернуться к началу | ||
MSt |
|
|
Я очень рассчитываю на вашу помощь!!!!!!!
У самого до сих пор никак не получилось, а позарез надо. |
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Похоже этот интеграл не берётся в элементарных функциях.Можно сделать следующее - произвести замену переменных подстановкой [math]z=cos(x)[/math],потом разложить дробь [math]\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2} }[/math] в ряд,и после этого уже интегрировать почленно.
|
||
Вернуться к началу | ||
MSt |
|
|
Andrei, а как разложить такую дробь в ряд?
|
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
по биному Ньютона
|
||
Вернуться к началу | ||
MSt |
|
|
Это я так сильно туплю, или Вы пошутили?:)
|
||
Вернуться к началу | ||
andrei |
|
|
Серьёзно.Бином ньютона верен и для дробных степеней.Покажу на примере.
[math](1-x^2)^{-1/2} =1+\frac{1}{2}x^2+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}x^4+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}x^6 +[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |