| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить двойной интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13038 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | kovcheg [ 08 янв 2012, 08:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить двойной интеграл |
Вычислить двойной интеграл по области [math]D[/math]. Область интегрирования [math]D[/math] изобразить на чертеже. [math]\iint\limits_D(12x^2y^2-1)dxdy;[/math] [math]D:x=1, y=x^2, y=-\sqrt{x}[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 08 янв 2012, 09:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left( {\frac{{12}}{3} - 1 + \frac{{12}}{3} - 1} \right) = 6 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | kovcheg [ 08 янв 2012, 09:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
Yurik спасибо большое! А область интегрирования как будет выглядеть на чертеже, я так понимаю это кусок параболы |
|
| Автор: | Yurik [ 08 янв 2012, 09:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
![]() То, что между параболами. |
|
| Автор: | Yurik [ 08 янв 2012, 16:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
Каюсь, ошибка есть, поспешил. [math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{{4{x^9}}}{9} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{8{x^{\frac{9}{2}}}}}{9} - \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{12}}{9} - 1 = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Но что за тело Вы изобразили? Непонятно. |
|
| Автор: | vvvv [ 08 янв 2012, 20:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
Yurik писал(а): Каюсь, ошибка есть, поспешил. [math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{{4{x^9}}}{9} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{8{x^{\frac{9}{2}}}}}{9} - \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{12}}{9} - 1 = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Но что за тело Вы изобразили? Непонятно. Гафик подинтегральной функции и ограничевающие ее поверхности. |
|
| Автор: | Yurik [ 09 янв 2012, 08:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить двойной интеграл |
В условии же просили изобразить только область интегрирования. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|