Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить двойной интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13038
Страница 1 из 1

Автор:  kovcheg [ 08 янв 2012, 08:37 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить двойной интеграл

Вычислить двойной интеграл по области [math]D[/math]. Область интегрирования [math]D[/math] изобразить на чертеже.

[math]\iint\limits_D(12x^2y^2-1)dxdy;[/math] [math]D:x=1, y=x^2, y=-\sqrt{x}[/math]

Автор:  Yurik [ 08 янв 2012, 09:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left( {\frac{{12}}{3} - 1 + \frac{{12}}{3} - 1} \right) = 6 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  kovcheg [ 08 янв 2012, 09:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

Yurik спасибо большое! А область интегрирования как будет выглядеть на чертеже, я так понимаю это кусок параболы

Автор:  Yurik [ 08 янв 2012, 09:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

Изображение

То, что между параболами.

Автор:  vvvv [ 08 янв 2012, 14:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

Yurik писал(а):
[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left( {\frac{{12}}{3} - 1 + \frac{{12}}{3} - 1} \right) = 6 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Здесь ошибка, двойной интеграл равен 1/3.
См.картинку
Изображение

Автор:  Yurik [ 08 янв 2012, 16:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

Каюсь, ошибка есть, поспешил.
[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{{4{x^9}}}{9} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{8{x^{\frac{9}{2}}}}}{9} - \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{12}}{9} - 1 = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Но что за тело Вы изобразили? Непонятно.

Автор:  vvvv [ 08 янв 2012, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

Yurik писал(а):
Каюсь, ошибка есть, поспешил.
[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dxdy} = \int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt x }^{{x^2}} {\left( {12{x^2}{y^2} - 1} \right)dy} = \int\limits_0^1 {\left. {\left( {\frac{{12{x^2}{y^3}}}{3} - y} \right)} \right|_{ - \sqrt x }^{{x^2}}dx} = \hfill \\ = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^2}{x^6}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^2}x\sqrt x }}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{12{x^8}}}{3} - {x^2} + \frac{{12{x^{\frac{7}{2}}}}}{3} - \sqrt x } \right)dx} = \hfill \\ = \left. {\left( {\frac{{4{x^9}}}{9} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{8{x^{\frac{9}{2}}}}}{9} - \frac{{2{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{12}}{9} - 1 = \frac{1}{3} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Но что за тело Вы изобразили? Непонятно.

Гафик подинтегральной функции и ограничевающие ее поверхности.

Автор:  Yurik [ 09 янв 2012, 08:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл

В условии же просили изобразить только область интегрирования.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/