Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры, с помощью двойного интеграла. (Верно ли)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=13031
Страница 1 из 1

Автор:  LWGBBD [ 08 янв 2012, 01:28 ]
Заголовок сообщения:  Площадь фигуры, с помощью двойного интеграла. (Верно ли)

Проверьте, пожалуйста, верно ли решение.

Условие:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла.
[math]{y^2} - 12x = 36[/math];
[math]x + y = 6[/math]

Решение:
Построим область интегрирования
[math]{y^2} - 12x = 36[/math] - парабола с вершиной в точке [math]\left( { - 3;0} \right)[/math]
[math]x + y = 6[/math] - прямая, пересекающая оси координат в точках [math]\left( {0;6} \right)[/math] и [math]\left( {6;0} \right)[/math]
Изображение
Для определения границ области интегрирования найдем координаты точек пересечения заданных линий из системы уравнений:
[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} - 12x = 36} \hfill \\ {x + y = 6} \hfill \\ \end{array} } \right.[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} - 12\left( {6 - y} \right) = 36} \hfill \\ {x = 6 - y} \hfill \\ \end{array} } \right.[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} - 12y - 108 = 0} \hfill \\ {x = 6 - y} \hfill \\ \end{array} } \right.[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1} = - 18} \hfill & {{y_2} = 6} \hfill \\ {{x_1} = 24} \hfill & {{x_2} = 0} \hfill \\ \end{array} } \right.[/math]

[math]\left( {24; - 18} \right)[/math] и [math]\left( {0;6} \right)[/math] – точки пересечения заданных линий

[math]D:\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|y - 6 \leqslant x \leqslant \frac{{{y^2} - 36}}{{12}}; - 18 \leqslant y \leqslant 6} \right\}[/math]

Удобнее внешней переменной выбрать [math]y[/math]
Тогда
[math]S = \iint\limits_D {dydx} = \int\limits_{ - 18}^6 {dy} \int\limits_{y - 6}^{\frac{{{y^2} - 36}}{{12}}} {dx} = \left. {\int\limits_{ - 18}^6 x } \right|_{y - 6}^{\frac{{{y^2} - 36}}{{12}}}dy = \int\limits_{ - 18}^6 {\left( {\frac{{{y^2} - 36}}{{12}} - \left( {y - 6} \right)} \right)dy} = \int\limits_{ - 18}^6 {\left( {\frac{{{y^2}}}{{12}} - 3 - y + 6} \right)dy} =[/math]

[math]= \int\limits_{ - 18}^6 {\left( {\frac{{{y^2}}}{{12}} - y + 3} \right)dy} = \left. {\left( {\frac{{{y^3}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{2} + 3y} \right)} \right|_{ - 18}^6 = \frac{{{6^3}}}{{36}} - \frac{{{6^2}}}{2} + 3 \cdot 6 - \left( {\frac{{{{\left( { - 18} \right)}^3}}}{{36}} - \frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}}}{2} + 3 \cdot \left( { - 18} \right)} \right) =[/math]

[math]= 6 - 18 + 18 + 162 + 162 + 54 = 384[/math]

Ответ: [math]S = 384[/math]

Автор:  neurocore [ 08 янв 2012, 11:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, с помощью двойного интеграла. (Верно ли)

Не так быстро! Было:
[math]\[\left\{ \begin{gathered} {x_1}(y) = 6 - y \hfill \\ {x_2}(y) = \frac{{{y^2} - 36}}{{12}} \hfill \\ \end{gathered} \right.\][/math]

Значит так:
[math]\[D = \left\{ {(x,y)\left| { - 18 < y < 6,{x_2}(y) < x} \right. < {x_1}(y)} \right\}\][/math]

Не меняйте функций. Было x = 6-y, так и должно остаться. Единственное, что надо поменять - это порядок функций: парабола "ниже", чем прямая (по x).

Автор:  LWGBBD [ 08 янв 2012, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, с помощью двойного интеграла. (Верно ли)

Ой, да точно, вот что значит "ночная невнимательность"

[math]D:\left\{ {\left. {\left( {x,y} \right)} \right|\frac{{{y^2} - 36}}{{12}} \leqslant x \leqslant 6 - y; - 18 \leqslant y \leqslant 6} \right\}[/math]

Удобнее внешней переменной выбрать [math]y[/math]
Тогда

[math]S = \iint\limits_D {dydx} = \int\limits_{ - 18}^6 {dy} \int\limits_{\frac{{{y^2} - 36}}{{12}}}^{6 - y} {dx} = \left. {\int\limits_{ - 18}^6 x } \right|_{\frac{{{y^2} - 36}}{{12}}}^{6 - y}dy = \int\limits_{ - 18}^6 {\left( {6 - y - \frac{{{y^2} - 36}}{{12}}} \right)dy} = \int\limits_{ - 18}^6 {\left( {6 - y - \frac{{{y^2}}}{{12}} + 3} \right)dy} =[/math]

[math]= \int\limits_{ - 18}^6 {\left( { - \frac{{{y^2}}}{{12}} - y + 9} \right)dy} = \left. {\left( { - \frac{{{y^3}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{2} + 9y} \right)} \right|_{ - 18}^6 = - \frac{{{6^3}}}{{36}} - \frac{{{6^2}}}{2} + 9\cdot6 - \left( { - \frac{{{{\left( { - 18} \right)}^3}}}{{36}} - \frac{{{{\left( { - 18} \right)}^2}}}{2} + 9\cdot\left( { - 18} \right)} \right) =[/math]

[math]= - 6 - 18 + 54 - 162 + 162 + 162 = 192[/math]

Ответ: [math]S = 192[/math]


Надеюсь, теперь ничего не напутала?
и в области интегрирования [math]D[/math] нужно использовать [math]\leqslant[/math] или [math]<[/math]?

PS
Такого Котэ и покормить не грех :wink:

Автор:  neurocore [ 08 янв 2012, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, с помощью двойного интеграла. (Верно ли)

Включение/исключение границ области в интеграле не меняет его значения) Да, и ещё, запись D:{...} означает буквально: "D есть такое, что множество", то есть утверждения нет на самом деле. А правильно D={...}, что и будет "D равно множеству". Вроде всё верно)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/