| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Тройной интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12992 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | smirnov_andrey [ 07 янв 2012, 12:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Тройной интеграл |
Всех с праздниками! Вычислить [math]int///xyzdxdydz[/math], где область [math]R[/math] ограничена сферой [math]x^2+y^2+z^2=16[/math], и координатными плоскостями [math]x=0, y=0, z=0[/math], в [math]I[/math] октанте. Сферические координаты( |
|
| Автор: | Alexdemath [ 07 янв 2012, 13:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Тройной интеграл |
smirnov_andrey Не понимаю, как выглядит подынтегральная функция
|
|
| Автор: | neurocore [ 07 янв 2012, 13:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Тройной интеграл |
[math]\[\begin{gathered} \iiint\limits_R {xyzdxdydz} = ... \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \cos \psi \hfill \\ y = r\cos \varphi \sin \psi \hfill \\ z = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} = 16 \Rightarrow {r^2} = 16 \Rightarrow r = 4 \hfill \\ ... = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\psi } \int\limits_0^4 {dr*{r^4}{{\cos }^2}\varphi \sin \varphi \cos \psi \sin \psi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\psi } {\cos ^2}\varphi \sin \varphi \cos \psi \sin \psi \frac{{{r^5}}}{5}\left| \begin{gathered} 4 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = \frac{{1024}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } {\cos ^2}\varphi \sin \varphi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \psi d(\sin \psi )} = \frac{{1024}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } {\cos ^2}\varphi \sin \varphi \frac{{{{\sin }^2}\psi }}{2}\left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = - \frac{{512}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}\varphi d(\cos \varphi )} = - \frac{{512}}{5}*\frac{{{{\cos }^3}\varphi }}{3}\left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \frac{{512}}{{15}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|