Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12970
Страница 1 из 1

Автор:  alisia89 [ 06 янв 2012, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Помогите пожалуйста найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
Изображение

Автор:  neurocore [ 06 янв 2012, 20:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

[math]\[\begin{gathered} 1){y^2} - 2y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} + {x^2} = {1^2} \hfill \\ 2){y^2} - 4y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 2)^2} + {x^2} = {2^2} \hfill \\ 3)y = \sqrt {3x} \hfill \\ 4)x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Итак, две окружности, парабола и прямая. Перейдём к полярным координатам заменой:
[math]\[\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.\][/math]

Получаем следующие уравнения:
[math]\[\begin{gathered} 1){r^2}{\sin ^2}\varphi - 2r\sin \varphi + 1 + {r^2}{\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow r = 2\sin \varphi \hfill \\ 2)r = 4\sin \varphi \hfill \\ 3)r = 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }} \hfill \\ 4)\varphi = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

А теперь смотрим на (заранее вами нарисованный) график. Обозначим точки пересечения параболы и большой окружности за A, а точку пересечения параболы и малой окружности за B, начало координат пусть O. Тогда в интеграле мы будем двигать угол от OA до OB и от OB до положения в 90 градусов - это 2 интеграла, разница лишь в нижней функции (в первом случае это парабола, во втором - малая окружность):
[math]\[A:4\sin \varphi = 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }} \Rightarrow \][/math]
погодите, я опешил кажется.. О.о уравнение 3го порядка получается, если в исходных координатах

и главно точки эти не обойти никак..
ну да ладно

[math]\[\begin{gathered} \Rightarrow x = {\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)^2} \hfill \\ y = \sqrt 3 \left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right) \hfill \\ \tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)}} \hfill \\ {\varphi _1} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

[math]\[B:{\varphi _2} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 3 + \sqrt {13} }} + \sqrt[3]{{\sqrt 3 - \sqrt {13} }}} \right)}}\][/math]

Всё это решено с помощью формулы Кардано, благо уравнения 3го порядка получились сразу в каноническом виде. Далее сами интегралы:

[math]\[S = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } \int\limits_{3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}}^{4\sin \varphi } {dr} + \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = ...\][/math]

Автор:  neurocore [ 06 янв 2012, 20:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

[math]\[\begin{gathered} \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } 2\sin \varphi = - 2\cos \varphi \left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ {\varphi _2} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 2\cos {\varphi _2} \hfill \\ \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } \int\limits_{3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}}^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } (4\sin \varphi - 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}) = - 4\cos \varphi \left| \begin{gathered} {\varphi _2} \hfill \\ {\varphi _1} \hfill \\ \end{gathered} \right. - 3\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\frac{{d(\sin \varphi )}}{{{{\sin }^2}\varphi }}} = \hfill \\ 4\cos {\varphi _1} - 4\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin \varphi }}\left| \begin{gathered} {\varphi _2} \hfill \\ {\varphi _1} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 4\cos {\varphi _1} - 4\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin {\varphi _2}}} - \frac{3}{{\sin {\varphi _1}}} \hfill \\ ... = 4\cos {\varphi _1} - 2\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin {\varphi _2}}} - \frac{3}{{\sin {\varphi _1}}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

(после многоточия площадь - ответ, не стал переписывать фи1 и фи2)

Автор:  pewpimkin [ 06 янв 2012, 20:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

neurocore, зная немного наших вопрошающих, я почти уверен, что в выражении у=корень из трех х, икс находится не под корнем. Это, скорее всего, прямая

Автор:  neurocore [ 06 янв 2012, 20:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

ОМГ, застрелите мну!!

хоть Кардано вспомнил, правда ещё много нехороших слов вспомнил следом..) он там ворочается бедняга..

Автор:  neurocore [ 06 янв 2012, 20:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

[math]\[\begin{gathered} 1){y^2} - 2y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} + {x^2} = {1^2} \hfill \\ 2){y^2} - 4y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 2)^2} + {x^2} = {2^2} \hfill \\ 3)y = \sqrt 3 x \hfill \\ 4)x = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ 1){r^2}{\sin ^2}\varphi - 2r\sin \varphi + 1 + {r^2}{\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow r = 2\sin \varphi \hfill \\ 2)r = 4\sin \varphi \hfill \\ 3)\varphi = \frac{\pi }{3} \hfill \\ 4)\varphi = \frac{\pi }{2} \hfill \\ S = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } 2\sin \varphi = - 2\cos \varphi \left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ \frac{\pi }{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 2\cos \frac{\pi }{3} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  alisia89 [ 18 янв 2012, 19:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

neurocore, скажите а фи=пи/3 Вы как нашли?

Автор:  neurocore [ 18 янв 2012, 19:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

А вот из третьего уравнения, если туда подставить замену полярную. Получается тангенс равен чему-то там, откуда угол находим

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/