Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 18:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 21:10
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 20:07 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} 1){y^2} - 2y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} + {x^2} = {1^2} \hfill \\ 2){y^2} - 4y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 2)^2} + {x^2} = {2^2} \hfill \\ 3)y = \sqrt {3x} \hfill \\ 4)x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Итак, две окружности, парабола и прямая. Перейдём к полярным координатам заменой:
[math]\[\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right.\][/math]

Получаем следующие уравнения:
[math]\[\begin{gathered} 1){r^2}{\sin ^2}\varphi - 2r\sin \varphi + 1 + {r^2}{\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow r = 2\sin \varphi \hfill \\ 2)r = 4\sin \varphi \hfill \\ 3)r = 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }} \hfill \\ 4)\varphi = \frac{\pi }{2} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

А теперь смотрим на (заранее вами нарисованный) график. Обозначим точки пересечения параболы и большой окружности за A, а точку пересечения параболы и малой окружности за B, начало координат пусть O. Тогда в интеграле мы будем двигать угол от OA до OB и от OB до положения в 90 градусов - это 2 интеграла, разница лишь в нижней функции (в первом случае это парабола, во втором - малая окружность):
[math]\[A:4\sin \varphi = 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }} \Rightarrow \][/math]
погодите, я опешил кажется.. О.о уравнение 3го порядка получается, если в исходных координатах

и главно точки эти не обойти никак..
ну да ладно

[math]\[\begin{gathered} \Rightarrow x = {\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)^2} \hfill \\ y = \sqrt 3 \left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right) \hfill \\ \tan \varphi = \frac{y}{x} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)}} \hfill \\ {\varphi _1} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }} - \frac{1}{{\sqrt[3]{{2\sqrt 3 + \sqrt {13} }}}}} \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

[math]\[B:{\varphi _2} = \arctan \frac{{\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt[3]{{\sqrt 3 + \sqrt {13} }} + \sqrt[3]{{\sqrt 3 - \sqrt {13} }}} \right)}}\][/math]

Всё это решено с помощью формулы Кардано, благо уравнения 3го порядка получились сразу в каноническом виде. Далее сами интегралы:

[math]\[S = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } \int\limits_{3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}}^{4\sin \varphi } {dr} + \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = ...\][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 20:17 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{{\varphi _2}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } 2\sin \varphi = - 2\cos \varphi \left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ {\varphi _2} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 2\cos {\varphi _2} \hfill \\ \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } \int\limits_{3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}}^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } (4\sin \varphi - 3\frac{{\cos \varphi }}{{{{\sin }^2}\varphi }}) = - 4\cos \varphi \left| \begin{gathered} {\varphi _2} \hfill \\ {\varphi _1} \hfill \\ \end{gathered} \right. - 3\int\limits_{{\varphi _1}}^{{\varphi _2}} {\frac{{d(\sin \varphi )}}{{{{\sin }^2}\varphi }}} = \hfill \\ 4\cos {\varphi _1} - 4\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin \varphi }}\left| \begin{gathered} {\varphi _2} \hfill \\ {\varphi _1} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 4\cos {\varphi _1} - 4\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin {\varphi _2}}} - \frac{3}{{\sin {\varphi _1}}} \hfill \\ ... = 4\cos {\varphi _1} - 2\cos {\varphi _2} + \frac{3}{{\sin {\varphi _2}}} - \frac{3}{{\sin {\varphi _1}}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

(после многоточия площадь - ответ, не стал переписывать фи1 и фи2)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 20:20 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neurocore, зная немного наших вопрошающих, я почти уверен, что в выражении у=корень из трех х, икс находится не под корнем. Это, скорее всего, прямая

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 20:35 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
ОМГ, застрелите мну!!

хоть Кардано вспомнил, правда ещё много нехороших слов вспомнил следом..) он там ворочается бедняга..

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 06 янв 2012, 20:45 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\[\begin{gathered} 1){y^2} - 2y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} + {x^2} = {1^2} \hfill \\ 2){y^2} - 4y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 2)^2} + {x^2} = {2^2} \hfill \\ 3)y = \sqrt 3 x \hfill \\ 4)x = 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ 1){r^2}{\sin ^2}\varphi - 2r\sin \varphi + 1 + {r^2}{\cos ^2}\varphi = 1 \Rightarrow \hfill \\ \Rightarrow r = 2\sin \varphi \hfill \\ 2)r = 4\sin \varphi \hfill \\ 3)\varphi = \frac{\pi }{3} \hfill \\ 4)\varphi = \frac{\pi }{2} \hfill \\ S = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_{2\sin \varphi }^{4\sin \varphi } {dr} = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } 2\sin \varphi = - 2\cos \varphi \left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ \frac{\pi }{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. = 2\cos \frac{\pi }{3} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 19:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 дек 2011, 21:10
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neurocore, скажите а фи=пи/3 Вы как нашли?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
СообщениеДобавлено: 18 янв 2012, 19:44 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот из третьего уравнения, если туда подставить замену полярную. Получается тангенс равен чему-то там, откуда угол находим

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали:
alisia89
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

luinage

19

665

31 май 2020, 21:50

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

mrlegendapredela

18

472

27 май 2023, 16:51

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

student1812

1

319

20 май 2015, 00:57

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Garcia09

1

428

10 сен 2015, 19:48

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

351w

3

337

15 янв 2018, 09:30

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

NadezhdaNNN

2

430

20 июн 2016, 07:57

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Manetty

3

634

08 июн 2016, 09:51

Найти площадь фигуры ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

6

1060

10 мар 2015, 20:08

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Alexesh

8

343

10 дек 2020, 21:31

Как найти площадь фигуры ограниченной линиями?

в форуме Интегральное исчисление

dimavfox

3

173

19 мар 2020, 17:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved