| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12838 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Merhaba [ 02 янв 2012, 22:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Интеграл |
Добрый Вечер!!! Помогите Пожалуйста вычислить интеграл: [math]\oint_{\Gamma } xdx-xydy[/math] , [math]\Gamma = { (x,y)| |x|+|y|=1 }[/math] , [math]\Gamma[/math] -кривая, пробегаемая по часовой стрелки. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 03 янв 2012, 02:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Вечер добрый! Если контур при интегрировании будем обходить по ходу часовой стрелки (не очень-то понятно, что Вы там написали...по ходу? против?), то можем применить следующую формулу Грина: [math]\oint_{\partial D^+} Pdx+Qdy=-\iint_{D}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy[/math] [math]P=x,\;\; Q=-xy,[/math] [math]\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-y[/math] [math]D[/math] - область ограничена кривой [math]\Gamma =\partial D[/math] ![]() Следовательно, [math]\oint_{\partial D^+} xdx-xydy=\iint_Dydxdy=0[/math] Последний интеграл равен нулю, так как функция [math]f(x,y)=y[/math] нечетная относительно переменной [math]y[/math], а область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math]. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 03 янв 2012, 14:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Рабоче-крестьянским методом
|
|
| Автор: | Merhaba [ 04 янв 2012, 20:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
SzaryWilk писал(а): Вечер добрый! [math]\oint_{\partial D^+} Pdx+Qdy=-\iint_{D}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy[/math] Последний интеграл равен нулю, так как функция [math]f(x,y)=y[/math] нечетная относительно переменной [math]y[/math], а область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math]. Объясните Пожалуйста, откуда в формуле Грина появился минус! И последнее предложение поподробнее Пожалуйста объясните! |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 04 янв 2012, 21:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интеграл |
Потому что [math]\partial D[/math]- отрицательно ориентированная кривая (кривую обходим по ходу часовой стрелки). Kстати, картинка неверна, кривая должна быть ориентирована по часовой стрелке. Функция [math]f(x,y)=y[/math] является нечетной относительно [math]y[/math], то есть при любых [math]x[/math] и [math]y[/math] имеет место равенство [math]f(x,-y)=-f(x,y)[/math]. А поскольку область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math], то [math]\iint_{D_-}f(x,y)dxdy=\iint_{D_+}f(x,-y)dxdy=-\iint_{D_+}f(x,y)dxdy[/math] и ![]() [math]\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D_+}f(x,y)dxdy+\iint_{D_-}f(x,y)dxdy=[/math] [math]=\iint_{D_+}f(x,y)dxdy-\iint_{D_+}f(x,y)dxdy=0[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|