Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12838
Страница 1 из 1

Автор:  Merhaba [ 02 янв 2012, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл

Добрый Вечер!!! :) Помогите Пожалуйста вычислить интеграл: [math]\oint_{\Gamma } xdx-xydy[/math] ,
[math]\Gamma = { (x,y)| |x|+|y|=1 }[/math] , [math]\Gamma[/math] -кривая, пробегаемая по часовой стрелки.

Автор:  SzaryWilk [ 03 янв 2012, 02:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Вечер добрый! :hiya:

Если контур при интегрировании будем обходить по ходу часовой стрелки (не очень-то понятно, что Вы там написали...по ходу? против?), то можем применить следующую формулу Грина:

[math]\oint_{\partial D^+} Pdx+Qdy=-\iint_{D}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy[/math]


[math]P=x,\;\; Q=-xy,[/math]

[math]\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-y[/math]

[math]D[/math] - область ограничена кривой [math]\Gamma =\partial D[/math]

Изображение


Следовательно,

[math]\oint_{\partial D^+} xdx-xydy=\iint_Dydxdy=0[/math]

Последний интеграл равен нулю, так как функция [math]f(x,y)=y[/math] нечетная относительно переменной [math]y[/math], а область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math].

Автор:  pewpimkin [ 03 янв 2012, 14:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Рабоче-крестьянским методом
Изображение

Автор:  Merhaba [ 04 янв 2012, 20:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

SzaryWilk писал(а):
Вечер добрый! :hiya:

[math]\oint_{\partial D^+} Pdx+Qdy=-\iint_{D}\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)dxdy[/math]


Последний интеграл равен нулю, так как функция [math]f(x,y)=y[/math] нечетная относительно переменной [math]y[/math], а область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math].

Объясните Пожалуйста, откуда в формуле Грина появился минус! :)
И последнее предложение поподробнее Пожалуйста объясните!

Автор:  SzaryWilk [ 04 янв 2012, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл

Потому что [math]\partial D[/math]- отрицательно ориентированная кривая (кривую обходим по ходу часовой стрелки). Kстати, картинка неверна, кривая должна быть ориентирована по часовой стрелке.

Функция [math]f(x,y)=y[/math] является нечетной относительно [math]y[/math], то есть при любых [math]x[/math] и [math]y[/math] имеет место равенство [math]f(x,-y)=-f(x,y)[/math]. А поскольку область [math]D[/math] симметрична относительно оси [math]Ox[/math], то

[math]\iint_{D_-}f(x,y)dxdy=\iint_{D_+}f(x,-y)dxdy=-\iint_{D_+}f(x,y)dxdy[/math] и

Изображение


[math]\iint_Df(x,y)dxdy=\iint_{D_+}f(x,y)dxdy+\iint_{D_-}f(x,y)dxdy=[/math]

[math]=\iint_{D_+}f(x,y)dxdy-\iint_{D_+}f(x,y)dxdy=0[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/