Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти интегралы от тригонометрических и обратных функций
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12829
Страница 1 из 1

Автор:  Romakuznetcov [ 02 янв 2012, 17:19 ]
Заголовок сообщения:  Найти интегралы от тригонометрических и обратных функций

Помогите, пожалуйста, найти интегралы от тригонометрических и обратных функций:

1) [math]\int e^{\sin^2x}\sin2x\,dx[/math]

2) [math]\int\operatorname{arctg}\sqrt{x}\,dx[/math]

Заранее спасибо.

Автор:  Yurik [ 02 янв 2012, 17:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: помогите с интегралами

[math]\begin{gathered} \int_{}^{} {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2xdx} = \int_{}^{} {{e^{{{\sin }^2}x}}d\left( {{{\sin }^2}x} \right)} = {e^{{{\sin }^2}x}} + C \hfill \\ \hfill \\ \int_{}^{} {arctg\sqrt x dx} = \left| \begin{gathered} u = arctg\sqrt x \,\, = > \,\,\frac{{dx}}{{2\left( {1 + x} \right)\sqrt x }} \hfill \\ dv = dx\,\,\,\,\,\, = > \,\,\,\,\,v = x \hfill \\ \end{gathered} \right| = x\,arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int_{}^{} {\frac{{\sqrt x }}{{1 + x}}dx} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt x \,\, = > \,\,x = {t^2} \hfill \\ dx = 2tdt \hfill \\ \end{gathered} \right| = \hfill \\ = x\,arctg\sqrt x - \int_{}^{} {\frac{{{t^2} + 1 - 1}}{{1 + {t^2}}}dt} = x\,arctg\sqrt x - \int_{}^{} {\left( {1 - \frac{1}{{1 + {t^2}}}} \right)dt} = x\,arctg\sqrt x - t + arctg\,t + C = \hfill \\ = x\,arctg\sqrt x - \sqrt x + arctg\sqrt x + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  neurocore [ 02 янв 2012, 17:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: помогите с интегралами

[math]\[\begin{gathered} \int {{e^{{{\sin }^2}x}}\sin 2xdx} = \int {{e^{{{\sin }^2}x}}*2\sin x*\cos xdx = } \int {{e^{{{\sin }^2}x}}d({{\sin }^2}x) = } {e^{{{\sin }^2}x}} + C \hfill \\ \int {\arctan \sqrt x dx = \left| \begin{gathered} t = \arctan \sqrt x \hfill \\ x = {\tan ^2}t \hfill \\ dx = \frac{{2\tan tdt}}{{{{\cos }^2}t}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = 2\int {t\frac{{\sin t}}{{{{\cos }^3}t}}dt = \left| \begin{gathered} u = t \hfill \\ v' = \frac{{\sin t}}{{{{\cos }^3}t}} \hfill \\ u' = 1 \hfill \\ v = \int {\frac{{ - d(\cos t)}}{{{{\cos }^3}t}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}t}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = 2(\frac{t}{{{{\cos }^2}t}} - \int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} ) = 2} } (\frac{t}{{{{\cos }^2}t}} - tgt) + C = 2((x + 1)\arctan \sqrt x - \sqrt x ) + C \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  SzaryWilk [ 02 янв 2012, 17:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: помогите Пожалуйста

1. Подставьте [math]\sin^2x=t[/math]
2. По частям

[math]I=\int\arctan\sqrt xdx= x\arctan \sqrt x-\int x\frac{1}{2\sqrt x(1+x)}dx=[/math]

[math]=x\arctan \sqrt x-\frac{1}{2}\int \frac{x}{\sqrt x(1+x)}dx=x\arctan \sqrt x-\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt x}{1+x}dx[/math]


Вычислим последний интеграл:

[math]\int \frac{\sqrt x}{1+x}dx=\left|\begin{matrix}x=t^2\\dx=2t\;dt\end{matrix}\right |=2\int\frac{t^2}{1+t^2}dt=2\int\frac{1+t^2}{1+t^2}dt-2\int\frac{1}{1+t^2}dt=[/math]


[math]2t-2\arctan t+C=2\sqrt x-2\arctan\sqrt x+C[/math]

Следовательно,
[math]I=x\arctan \sqrt x-\frac{1}{2}(2\sqrt x-2\arctan\sqrt x+C)=(x+1)\arctan\sqrt x -\sqrt x+C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/