| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12605 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Darinulka93 [ 27 дек 2011, 07:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
Помогите найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3). расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна x я нашал такие уравнения..x=a*cos^3t( косинус в кубе) y=a*sin^3t (синус в кубе) а что делать дальше, как массу находить без понятия.. |
|
| Автор: | Shaman [ 27 дек 2011, 10:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: масса дуги |
При параметрическом описании кривой длина дуги находится по следующей формуле: [math]L = \int\limits_a^b {\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math] Соответственно, если задана плотность, масса кривой: [math]M = \int\limits_a^b {\rho (t)dl} = \int\limits_a^b {\rho (t)\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math] |
|
| Автор: | Darinulka93 [ 27 дек 2011, 12:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: масса дуги |
Shaman писал(а): При параметрическом описании кривой длина дуги находится по следующей формуле: [math]L = \int\limits_a^b {\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math] Соответственно, если задана плотность, масса кривой: [math]M = \int\limits_a^b {\rho (t)dl} = \int\limits_a^b {\rho (t)\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math] спасииибо!!!! а вместо p(t) мне прсото подставить x? |
|
| Автор: | Shaman [ 27 дек 2011, 14:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: масса дуги |
Darinulka93 писал(а): спасииибо!!!! а вместо p(t) мне прсото подставить x? Да |
|
| Автор: | AStriker [ 04 фев 2012, 09:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
Найти массу дуги [math]AB[/math] линии [math]L = \left\{ \begin{gathered}x = a(t - \sin t) \hfill \\y = a(1 - \cos t) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math], [math]0 \leqslant t \leqslant \pi ,p(x,y) = \sqrt y[/math] . Если её линейная плотность меняется по закону [math]p(x,y)[/math]. начал делать [math]\begin{gathered}x'(t) = a - a\cos t \hfill \\y'(t) = a\sin t \hfill \\dl = \sqrt {(a - a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 } dt \hfill \\m = \int\limits_{AB} {\sqrt y } dl = \int\limits_0^\pi {\sqrt {a(1 - \cos t)} *\sqrt {(a - a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 } dt} \hfill \\ \end{gathered}[/math] правильно ли? как находить такой интеграл? |
|
| Автор: | Shaman [ 04 фев 2012, 10:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
Если a>0, то [math]m = \int\limits_0^\pi {\sqrt {a \cdot (1 - \cos (t))} \cdot \sqrt {{{(a - a \cdot \cos (t))}^2} + {{(a \cdot \sin (t))}^2}} dt = }[/math] [math]= {a^{3/2}} \cdot \int\limits_0^\pi {\sqrt {(1 - \cos (t)) \cdot (2 - 2 \cdot \cos (t))} dt = \sqrt 2 } \cdot {a^{3/2}} \cdot \int\limits_0^\pi {(1 - \cos (t))dt = } \sqrt 2 \cdot {a^{3/2}} \cdot \pi[/math] |
|
| Автор: | AStriker [ 04 фев 2012, 11:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
объясните почему у вас появилось [math](2-2cos(t))[/math] |
|
| Автор: | Shaman [ 04 фев 2012, 11:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
Раскройте квадраты под правым корнем. |
|
| Автор: | AStriker [ 04 фев 2012, 11:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3) |
перед [math]sqrt(2)[/math] знак минус наверное будет |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|