Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12605
Страница 1 из 1

Автор:  Darinulka93 [ 27 дек 2011, 07:16 ]
Заголовок сообщения:  Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

Помогите найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3).

расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна x

я нашал такие уравнения..x=a*cos^3t( косинус в кубе)
y=a*sin^3t (синус в кубе)

а что делать дальше, как массу находить без понятия..

Автор:  Shaman [ 27 дек 2011, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: масса дуги

При параметрическом описании кривой длина дуги находится по следующей формуле:
[math]L = \int\limits_a^b {\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math]
Соответственно, если задана плотность, масса кривой:
[math]M = \int\limits_a^b {\rho (t)dl} = \int\limits_a^b {\rho (t)\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math]

Автор:  Darinulka93 [ 27 дек 2011, 12:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: масса дуги

Shaman писал(а):
При параметрическом описании кривой длина дуги находится по следующей формуле:
[math]L = \int\limits_a^b {\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math]
Соответственно, если задана плотность, масса кривой:
[math]M = \int\limits_a^b {\rho (t)dl} = \int\limits_a^b {\rho (t)\sqrt {{{\left( {x'(t)} \right)}^2} + {{\left( {y'(t)} \right)}^2}} dt}[/math]



спасииибо!!!!
а вместо p(t) мне прсото подставить x?

Автор:  Shaman [ 27 дек 2011, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: масса дуги

Darinulka93 писал(а):
спасииибо!!!!
а вместо p(t) мне прсото подставить x?

Да

Автор:  AStriker [ 04 фев 2012, 09:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

Найти массу дуги [math]AB[/math] линии [math]L = \left\{ \begin{gathered}x = a(t - \sin t) \hfill \\y = a(1 - \cos t) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math], [math]0 \leqslant t \leqslant \pi ,p(x,y) = \sqrt y[/math]
. Если её линейная плотность меняется по закону [math]p(x,y)[/math].


начал делать

[math]\begin{gathered}x'(t) = a - a\cos t \hfill \\y'(t) = a\sin t \hfill \\dl = \sqrt {(a - a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 } dt \hfill \\m = \int\limits_{AB} {\sqrt y } dl = \int\limits_0^\pi {\sqrt {a(1 - \cos t)} *\sqrt {(a - a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 } dt} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


правильно ли? как находить такой интеграл?

Автор:  Shaman [ 04 фев 2012, 10:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

Если a>0, то
[math]m = \int\limits_0^\pi {\sqrt {a \cdot (1 - \cos (t))} \cdot \sqrt {{{(a - a \cdot \cos (t))}^2} + {{(a \cdot \sin (t))}^2}} dt = }[/math]
[math]= {a^{3/2}} \cdot \int\limits_0^\pi {\sqrt {(1 - \cos (t)) \cdot (2 - 2 \cdot \cos (t))} dt = \sqrt 2 } \cdot {a^{3/2}} \cdot \int\limits_0^\pi {(1 - \cos (t))dt = } \sqrt 2 \cdot {a^{3/2}} \cdot \pi[/math]

Автор:  AStriker [ 04 фев 2012, 11:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

объясните почему у вас появилось [math](2-2cos(t))[/math]

Автор:  Shaman [ 04 фев 2012, 11:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

Раскройте квадраты под правым корнем.

Автор:  AStriker [ 04 фев 2012, 11:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти массу дуги астроиды x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)

перед [math]sqrt(2)[/math] знак минус наверное будет

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/