Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12553
Страница 1 из 1

Автор:  shipilo_kristina [ 26 дек 2011, 15:43 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

Уважаемые великие умы, помогите пожалуйста вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах. Параметр а положителен.
(x^2 + y^2)^5 =a^4*x^4*y^2.
Заранее огромнейшее спасибо!

Автор:  neurocore [ 28 дек 2011, 18:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры


Если я нигде ничё не напутал со степенями, то в полярных будет так (3я строчка). Границы от 0 до pi/2 (нули функции). Ну и интегрируем r(phi) по phi. Труда, я думаю не составит) !! Извиняюсь жутко, мэйпл кажись в ответе ашку съел))

Автор:  shipilo_kristina [ 29 дек 2011, 08:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

Спасибо конечно огромное, но нельзя ли решение немного по другому представить. Для решения интеграла необходимы промежутки. А тут их где взять? Помогите ПОЖАЛУЙСТА!!!

Автор:  neurocore [ 29 дек 2011, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

Промежутки это скорее всего границы (или пределы) интегрирования и есть. Это самый обычный способ нахождения площади

Автор:  shipilo_kristina [ 29 дек 2011, 11:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

ну это конечно всё просто замечательно. но вот как именно.
я тут немного поколдовала и получила, что r=a*sinx*sqrt(cosx). правильно ли это? и как проходит дальнейшее решение? заранее спасибо!

Автор:  neurocore [ 29 дек 2011, 11:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

))
[math]\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = r{\kern 1pt} \cos \phi , \hfill \\ y = r{\kern 1pt} \sin \phi ; \hfill \\\end{gathered} \right. \hfill \\ {r^{10}} = {a^4}{r^4}{\cos ^4}\phi {r^2}{\sin ^2}\phi \hfill \\ {r^4} = {a^4}{\cos ^4}\phi {\sin ^2}\phi \hfill \\ r = a\cos \phi \sqrt {\sin \phi } \hfill \\ \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {rd\phi } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {a\cos \phi \sqrt {\sin \phi } } d\phi = a\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin \phi } d(\sin \phi )} = \frac{2}{3}a{\sin ^{\frac{3}{2}}}\phi \left| {\mathop {}\limits_0^{\frac{\pi }{2}} = } \right.\frac{2}{3}a \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  shipilo_kristina [ 29 дек 2011, 11:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

Спасибо огромное за ваши труды!

Автор:  neurocore [ 29 дек 2011, 12:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры

:oops: нее за что, обращайтесь ))

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/