Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
mischanja |
|
||
[math]\int\frac{x}{x^3-1}\,dx[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Используйте разложение на простые дроби
[math]\frac{x}{{x^3-1}}=\frac{1}{{3\left({x-1}\right)}}-\frac{{x-1}}{{3\left({x^2+x+1}\right)}}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
mischanja |
|
||
и все?
|
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
mischanja писал(а): и все? Вы ж как-то повежлевей старайтесь задавать вопросы. Prokop показал, что делать, как находить интеграл. Сначала разложите знаменатель подынтегральной дроби на разность кубов [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}}}[/math], затем методом неопределенных коэффициентов разложите эту дробь на две элементарные дроби: [math]\int\frac{x}{x^3-1}\,dx=\int\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}\,dx.[/math] [math]\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow{x}=(x^2+x+1)A+(Bx+C)(x-1)=(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C\Rightarrow[/math] [math]\Rightarrow\left\{\begin{gathered}A-C=0,\hfill\\A+B=0,\hfill\\A-B+C=1,\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}A=C,\hfill\\B=-C,\hfill\\3C=1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}A=1/3,\hfill\\B=-1/3,\hfill\\C=1/3.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math] [math]\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}=\frac{1}{3}\int\frac{d(x-1)}{x-1}=\frac{1}{3}\ln|x-1|+C.[/math] [math]\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx=\frac{1}{6}\int\frac{2x+1-3}{x^2+x+1}\,dx=\frac{1}{6}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx-\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x^2+x+1}=[/math] [math]=\frac{1}{6}\int\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}-2\int\frac{dx}{(2x+1)^2}+3}=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{3}\int\frac{dx}{\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)^2+1}=[/math] [math]=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-\frac{\sqrt3}{3}\int\!\frac{d\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)}{\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)^2+1}=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-[/math][math]\frac{\sqrt3}{3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.[/math] Следовательно, окончательно имеем: [math]\int\frac{x}{x^2-1}\бdx=\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|+\frac{\sqrt3}{3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
mischanja |
|
||
Я извиняюсь. просто я думал что это уже ответ был.
Я очень и очень благодарен Вам всем |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |