Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как найти этот интеграл int[x/(x^3-1)]dx ??
СообщениеДобавлено: 25 мар 2010, 12:35 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 мар 2010, 12:36
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не получается взять этот интеграл от дробно-рациональной функции:

[math]\int\frac{x}{x^3-1}\,dx[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как найти этот интеграл int[x/(x^3-1)]dx ??
СообщениеДобавлено: 25 мар 2010, 17:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используйте разложение на простые дроби
[math]\frac{x}{{x^3-1}}=\frac{1}{{3\left({x-1}\right)}}-\frac{{x-1}}{{3\left({x^2+x+1}\right)}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как найти этот интеграл int[x/(x^3-1)]dx ??
СообщениеДобавлено: 25 мар 2010, 17:25 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 мар 2010, 12:36
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
и все?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как найти этот интеграл int[x/(x^3-1)]dx ??
СообщениеДобавлено: 25 мар 2010, 18:36 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mischanja писал(а):
и все?

Вы ж как-то повежлевей старайтесь задавать вопросы.
Prokop показал, что делать, как находить интеграл.


Сначала разложите знаменатель подынтегральной дроби на разность кубов [math]{\color{red}\boxed{{\color{black}a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)}}}[/math], затем методом неопределенных коэффициентов разложите эту дробь на две элементарные дроби:

[math]\int\frac{x}{x^3-1}\,dx=\int\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}\,dx.[/math]

[math]\frac{x}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow{x}=(x^2+x+1)A+(Bx+C)(x-1)=(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C\Rightarrow[/math]

[math]\Rightarrow\left\{\begin{gathered}A-C=0,\hfill\\A+B=0,\hfill\\A-B+C=1,\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}A=C,\hfill\\B=-C,\hfill\\3C=1;\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}A=1/3,\hfill\\B=-1/3,\hfill\\C=1/3.\hfill\\\end{gathered}\right.[/math]

[math]\frac{1}{3}\int\frac{dx}{x-1}=\frac{1}{3}\int\frac{d(x-1)}{x-1}=\frac{1}{3}\ln|x-1|+C.[/math]

[math]\frac{1}{3}\int\frac{x-1}{x^2+x+1}\,dx=\frac{1}{6}\int\frac{2x+1-3}{x^2+x+1}\,dx=\frac{1}{6}\int\frac{2x+1}{x^2+x+1}\,dx-\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x^2+x+1}=[/math]

[math]=\frac{1}{6}\int\frac{d(x^2+x+1)}{x^2+x+1}-2\int\frac{dx}{(2x+1)^2}+3}=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-\frac{2}{3}\int\frac{dx}{\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)^2+1}=[/math]

[math]=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-\frac{\sqrt3}{3}\int\!\frac{d\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)}{\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt3}\Bigl)^2+1}=\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|-[/math][math]\frac{\sqrt3}{3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.[/math]

Следовательно, окончательно имеем:

[math]\int\frac{x}{x^2-1}\бdx=\frac{1}{3}\ln|x-1|-\frac{1}{6}\ln|x^2+x+1|+\frac{\sqrt3}{3}\operatorname{arctg}\frac{2x+1}{\sqrt3}+C.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как найти этот интеграл int[x/(x^3-1)]dx ??
СообщениеДобавлено: 25 мар 2010, 19:47 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
21 мар 2010, 12:36
Сообщений: 16
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я извиняюсь. просто я думал что это уже ответ был.

Я очень и очень благодарен Вам всем

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Ах, этот интеграл

в форуме Интегральное исчисление

oksi

4

225

08 июн 2020, 18:20

Как взять этот интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

Arno

1

390

13 сен 2015, 20:07

Как взять этот интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

ura_mozg

2

542

26 мар 2016, 12:01

Как решить этот странный интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

DiscrordYaz

8

286

17 ноя 2019, 00:14

Этот интеграл берется? Если да, то как?

в форуме Интегральное исчисление

Sveta22

21

1872

26 фев 2016, 19:43

Более просто понять этот интеграл

в форуме Интегральное исчисление

research

1

446

20 сен 2017, 03:45

Если этот интеграл математически лепый, как его решить?

в форуме Интегральное исчисление

jusip

10

723

22 ноя 2015, 09:36

Как найти этот предел?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nikpasternak

7

181

28 сен 2019, 00:57

Найти вероятность того, что этот шарик будет белой

в форуме Теория вероятностей

Anton1268274

1

173

26 дек 2020, 16:27

Найти асимптоты графика функции и построить этот график в по

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Nik_van_dorn

1

502

10 ноя 2014, 19:24


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 33


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved