| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Подскажите замену в интеграле с тригонометрией http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12460 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | neurocore [ 25 дек 2011, 17:24 ] |
| Заголовок сообщения: | Подскажите замену в интеграле с тригонометрией |
[math]\[\int\limits_0^\pi {{{(\frac{{2 + \sin \varphi }} {{1 + \sin \varphi }})}^{\frac{3} {2}}}d\varphi } \][/math] сначала попробовал замену стандартную тригонометрическую [math]\[t = tg\frac{\varphi }{2}\][/math] со всеми вытекающими, но тут образовывается дробь, в числителе - многочлен 4й степени с комплексными корнями (тяжко стало - бросил). Потом - [math]\[t = \frac{{2 + \sin \varphi }}{{1 + \sin \varphi }}\][/math], но это привело к тому, что [math]\[d\varphi = \frac{{dt}}{{(1 - t)\sqrt {2t - 3} }}\][/math], а пределы интегрирования при пересчёте - от 2 до 3/2, и в итоге в интеграле 3/2 становится особой точкой (честно даже непонятно откуда взявшейся - замена вроде однозначная). Разбивать дробь в сумму, как по мне, смысла мало имеет - дальше только тригонометрическими заменами если, но возможность возникновения чего-то вроде [math]\[{(1 + f(t))^{\frac{3}{2}}}\][/math] жутко угнетает. Мучил около 6 часов интеграл этот - вот решил тут написать..) |
|
| Автор: | Alexdemath [ 05 янв 2012, 00:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Подскажите замену в интеграле с тригонометрией |
neurocore Этот интеграл так и был по заданию или получился при решении какой-то задачи? |
|
| Автор: | neurocore [ 05 янв 2012, 13:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Подскажите замену в интеграле с тригонометрией |
Найти площадь части поверхности [math]\[z = \frac{1}{2}({x^2} - {y^2})\][/math] вырезанной плоскостями [math]\[\begin{gathered} x - y = \pm 1 \hfill \\ x + y = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered} \][/math] Вот так задача звучала изначально.. Ну очевидно в плоскости xOy получается ромб. Замечаем, что и область и сама функция z симметричны относительно начала координат - поэтому ради сокращения выкладок посчитаем лишь ту часть, которая находится в I четверти (плоскости xOy): [math]\[\begin{gathered} \iint\limits_D {\sqrt {1 + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial x}})}^2} + {{(\frac{{\partial z}}{{\partial y}})}^2}} }dxdy = \iint\limits_D {\sqrt {1 + {x^2} + {y^2}} }dxdy = \left| \begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \left| J \right| = r \hfill \\ \end{gathered} \right| = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{1}{{\cos \varphi + \sin \varphi }}} {rdr\sqrt {1 + {r^2}} } = \hfill \\ = 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } \int\limits_0^{\frac{1}{{\cos \varphi + \sin \varphi }}} {\sqrt {1 + {r^2}} } d(1 + {r^2}) = \left| {\frac{1}{{\cos \varphi + \sin \varphi }} = \frac{1}{{\sqrt 2 \cos (\varphi + \frac{\pi }{4})}}} \right| = 2*\frac{2}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } {(1 + {r^2})^{\frac{3}{2}}}\left| \begin{gathered} \frac{1}{{\sqrt 2 \cos (\varphi + \frac{\pi }{4})}} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } ({(1 + \frac{1}{{2{{\cos }^2}(\varphi + \frac{\pi }{4})}})^{\frac{3}{2}}} - 1) = \left| {{{\cos }^2}\theta = \frac{{1 + \cos 2\theta }}{2}} \right| = \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } {(1 + \frac{1}{{1 + \cos (2\varphi + \frac{\pi }{2})}})^{\frac{3}{2}}} - \frac{4}{3}\varphi \left| \begin{gathered} \frac{\pi }{2} \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. = \hfill \\ = \frac{4}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi } {(1 + \frac{1}{{1 - \sin 2\varphi }})^{\frac{3}{2}}} - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{4}{3}\int\limits_0^\pi {d\varphi } {(\frac{{2 - \sin \varphi }}{{1 - \sin \varphi }})^{\frac{3}{2}}} - \frac{{2\pi }}{3} = \left| \begin{gathered} t = \frac{{2 - \sin \varphi }}{{1 - \sin \varphi }} \hfill \\ \varphi = \arcsin \frac{{t - 2}}{{t - 1}} \hfill \\ d\varphi = \frac{{dt}}{{(t - 1)\sqrt {2t - 3} }} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{4}{3}\int\limits_2^2 {...} \hfill \\ \end{gathered} \][/math] 1) ошибся со знаками в дроби 2) пределы неправильно пересчитал - теперь после замены 2 и 2, но интеграл не может быть = 0, значит замена неподходящая как быть? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 06 янв 2012, 03:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Подскажите замену в интеграле с тригонометрией |
neurocore Так половина же поверхности лежит ниже плоскости [math]Oxy[/math]. Запишите 1/8 проекции поверхности на плоскость [math]Oxy[/math]. |
|
| Автор: | neurocore [ 06 янв 2012, 18:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Подскажите замену в интеграле с тригонометрией |
В общем, если из ромба вырезать бабочку - то там z < 0, вне бабочки в ромбе z > 0. Надо только считать два интеграла по отдельности, поставив минус перед интегралом для области с z < 0. Спасибо) |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|