Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

простейшие приёмы интегрирования
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12392
Страница 1 из 1

Автор:  student-himik [ 25 дек 2011, 02:30 ]
Заголовок сообщения:  простейшие приёмы интегрирования

подскажите пожалуйста необходимые преобразования: int cosx*sin3x dx, int cos2x*cos3x dx, int sin2x*sin5x dx, int (cosx)^3 dx, int (tgx)^4 dx, int (sinx)^5. Не стал бы создавать темы если бы нашёл решения этих примеров в решебнике :)

Автор:  SzaryWilk [ 25 дек 2011, 02:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: простейшие приёмы интегрирования

Три первых можно легко взять с помощью следующих формул:

[math]\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2[/math]

[math]\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2[/math]

[math]\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2[/math]


[math]\cos^3x[/math] распишите [math]\cos^2x\cos x=(1-\sin^2 x)\cos x[/math] и подставьте [math]\sin x=t[/math]

[math]\sin^5x=\sin^4x\sin x=(1-\cos^2x)^2\sin x[/math] и [math]\cos x=t[/math]

Автор:  SzaryWilk [ 25 дек 2011, 03:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: простейшие приёмы интегрирования

[math]\int\tan^4xdx[/math]


Сначала вычислим [math]\int\tan^2dx[/math] ,интегрируя по частям

[math]\int\tan^2dx=\int\sin x\frac{\sin x}{\cos^2x}dx=\frac{\sin x}{\cos x}-\int\frac{\cos x}{\cos x}dx+C=\tan x-x+C[/math]


А теперь так:

[math]\int\tan^4xdx=\int\sin^3x\frac{\sin x}{\cos^4x}dx=[/math]


[math]=\frac{1}{3\cos^3x}\sin^3x-\frac{1}{3}\int3\sin^2x\cos x\frac{1}{\cos^3x}dx=\frac{1}{3}\tan^3x-\int\tan^2xdx+C[/math]


[math]***[/math]

Таким же способом можно доказать следующую рекурсивную формулу:

[math]\int\tan^nxdx=\frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/