Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить двойной интеграл по области G
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12308
Страница 1 из 1

Автор:  djsanek92 [ 23 дек 2011, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить двойной интеграл по области G

Вычислить двойной интеграл по области G, перейдя к полярной системе координат

[math]\iint\limits_{G}\frac{dxdy}{\sqrt{2+x^2+y^2}},\quad G\colon\,x^2+y^2\leqslant9[/math]

Автор:  Alexdemath [ 23 дек 2011, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить двойной интеграл по области G

Область G - это круг радиуса 3 с центром в начале координат

[math]\begin{aligned}\iint\limits_G \frac{dxdy}{\sqrt{2+x^2+y^2}}&= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant3^2}\frac{dxdy}{\sqrt{2 +x^2+y^2}}= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=r\sin\varphi\hfill\end{gathered}\right\}= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^3 \frac{r\,dr}{\sqrt{2+r^2}}=\\[2pt] &=2\pi\cdot \frac{1}{2}\int\limits_0^3 (2+r^2)^{-1/2}\,d(2+r^2)= \left.{\pi\cdot\frac{(2+r^2)^{1-1/2}}{1-1/2}} \right|_0^3=\\[2pt] &=\Bigl.{2\pi {(2 + r^2)^{1/2}}\Bigr|_0^3 = 2\pi\!\left(\sqrt{11}-\sqrt2\right)\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/