Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=1223
Страница 1 из 1

Автор:  Aleksey [ 29 сен 2010, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Здравствуйте, помогите с задачкой:

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах

[math]y^6=a^2(3y^2-x^2)(x^2+y^2),~a>0.[/math]

Уравнение кривой в полярных координатах нашёл: [math]r^2=\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}[/math], что дальше делать? :unknown:

Автор:  Alexdemath [ 01 окт 2010, 16:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением

Теперь приравняйте [math]r[/math] к нулю и ищите корни уравнения на интервале [math][0;2\pi][/math]:

[math]{\left\{\!\begin{gathered}\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math]

[math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos^2\varphi=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\frac{1+\cos2\varphi}{2}=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos2\varphi=\frac{1}{2},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math]

[math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\varphi=\pi{k}\pm\frac{\pi}{6},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left[\!\begin{gathered}\varphi_1=\frac{\pi}{6},~\varphi_2=\frac{5\pi}{6},\hfill\\\varphi_3=\frac{7\pi}{6},~\varphi_4=\frac{11\pi}{6}.\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]


Так как искомая площадь ([math]S[/math]) симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим четвёртую её часть, расположенную в первом квадранте:

[math]D=\left\{(\varphi,\rho)\in\mathbb{R}^2\mid0\leqslant\rho\leqslant\sqrt{\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}},\,\frac{\pi}{6}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}\right\}.[/math]

[math]{\frac{S}{4}=\iint\limits_D\rho\,d\rho\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{4\sin^2\varphi-1}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\sin^4\varphi}-\frac{1}{\sin^6\varphi}\right)d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\cos^4\varphi\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{1}{\cos^6\varphi\operatorname{tg}^6\varphi}\right)d\varphi=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4(1+\operatorname{tg}^2\varphi)}{\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{(1+\operatorname{tg}^2\varphi)^2}{\operatorname{tg}^6\varphi}\right)\!\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=\left\{\begin{gathered}\operatorname{tg}\varphi=t,\hfill\\\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(\frac{4(1+t^2)}{t^4}-\frac{(1+t^2)^2}{t^6}\right)dt=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(-\frac{1}{t^6}+\frac{2}{t^4}+\frac{3}{t^2}\right)dt=}[/math]

[math]{=\left.{\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5t^5}-\frac{2}{3t^3}-\frac{3}{t}\right)}\right|_{1/\sqrt3}^b=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5b^5}-\frac{2}{3b^3}-\frac{3}{b^2}-\frac{\sqrt{3^5}}{5}+\frac{2\sqrt{3^3}}{3}+3\sqrt3\right)=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{10\sqrt{3^3}-3\sqrt{3^5}}{15}+3\sqrt3\right)=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{\sqrt3}{5}+3\sqrt3\right)=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.).

Итак, имеем:

[math]{\frac{S}{4}=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2~\Leftrightarrow~S=\frac{32\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.).

Смотрите график данной фигуры при [math]a=1[/math].

Автор:  Aleksey [ 02 окт 2010, 07:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен?

Автор:  sadisasha [ 28 май 2013, 16:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Дабы не создавать новую тему спрошу здесь, вот мое уравнение:
Изображение
нашел пока радиус, хочу узнать верно я его нашел.

Вложения:
28-05-2013 17-23-25.png
28-05-2013 17-23-25.png [ 9.58 Кб | Просмотров: 2528 ]

Автор:  Avgust [ 28 май 2013, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

sadisasha
Вы ошиблись в самом конце. Нужно:

[math]r=a \sqrt{cos^2(t)+2}[/math]

Тогда [math]S=4\cdot \frac 12 \cdot a^2 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left [ \cos^2(t)+2 \right ] \, dt = \frac 52 \pi a^2[/math]

Автор:  sadisasha [ 28 май 2013, 18:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Avgust
спасибо я тоже увидел эту ошибку. Я учусь на 1 курсе, мне завтра сдавать контрольную я ее всю сделал и распечатал, только что, но вот в чем дело графики функций брал с сервиса Wolfram|Alpha и к сожалению они моим принтером не пропечатываются вот этот например:
Изображение
не подскажите где можно сделать графики пожирнее

Автор:  sadisasha [ 28 май 2013, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

Aleksey писал(а):
Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен?

Присоеденяюсь к вопросу

Автор:  Avgust [ 28 май 2013, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой

sadisasha

Я строю в Maple. Толщина любая, цвет любой. Например:

a := 6; plot(sqrt(a^2-x^2+a*sqrt(a^2+x^2)), x = 0 .. 10.5, thickness = 5, color = black);

Изображение

Это как раз Ваша функция, но в декартовых координатах (четверть кривой)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/