Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 29 сен 2010, 16:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2010, 16:30
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, помогите с задачкой:

Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах

[math]y^6=a^2(3y^2-x^2)(x^2+y^2),~a>0.[/math]

Уравнение кривой в полярных координатах нашёл: [math]r^2=\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}[/math], что дальше делать? :unknown:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением
СообщениеДобавлено: 01 окт 2010, 16:07 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь приравняйте [math]r[/math] к нулю и ищите корни уравнения на интервале [math][0;2\pi][/math]:

[math]{\left\{\!\begin{gathered}\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math]

[math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos^2\varphi=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\frac{1+\cos2\varphi}{2}=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos2\varphi=\frac{1}{2},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math]

[math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\varphi=\pi{k}\pm\frac{\pi}{6},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left[\!\begin{gathered}\varphi_1=\frac{\pi}{6},~\varphi_2=\frac{5\pi}{6},\hfill\\\varphi_3=\frac{7\pi}{6},~\varphi_4=\frac{11\pi}{6}.\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math]


Так как искомая площадь ([math]S[/math]) симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим четвёртую её часть, расположенную в первом квадранте:

[math]D=\left\{(\varphi,\rho)\in\mathbb{R}^2\mid0\leqslant\rho\leqslant\sqrt{\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}},\,\frac{\pi}{6}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}\right\}.[/math]

[math]{\frac{S}{4}=\iint\limits_D\rho\,d\rho\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{4\sin^2\varphi-1}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\sin^4\varphi}-\frac{1}{\sin^6\varphi}\right)d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\cos^4\varphi\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{1}{\cos^6\varphi\operatorname{tg}^6\varphi}\right)d\varphi=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4(1+\operatorname{tg}^2\varphi)}{\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{(1+\operatorname{tg}^2\varphi)^2}{\operatorname{tg}^6\varphi}\right)\!\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=\left\{\begin{gathered}\operatorname{tg}\varphi=t,\hfill\\\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(\frac{4(1+t^2)}{t^4}-\frac{(1+t^2)^2}{t^6}\right)dt=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(-\frac{1}{t^6}+\frac{2}{t^4}+\frac{3}{t^2}\right)dt=}[/math]

[math]{=\left.{\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5t^5}-\frac{2}{3t^3}-\frac{3}{t}\right)}\right|_{1/\sqrt3}^b=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5b^5}-\frac{2}{3b^3}-\frac{3}{b^2}-\frac{\sqrt{3^5}}{5}+\frac{2\sqrt{3^3}}{3}+3\sqrt3\right)=}[/math]

[math]{=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{10\sqrt{3^3}-3\sqrt{3^5}}{15}+3\sqrt3\right)=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{\sqrt3}{5}+3\sqrt3\right)=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.).

Итак, имеем:

[math]{\frac{S}{4}=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2~\Leftrightarrow~S=\frac{32\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.).

Смотрите график данной фигуры при [math]a=1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 02 окт 2010, 07:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2010, 16:30
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 16:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2013, 16:17
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дабы не создавать новую тему спрошу здесь, вот мое уравнение:
Изображение
нашел пока радиус, хочу узнать верно я его нашел.

Вложения:
28-05-2013 17-23-25.png
28-05-2013 17-23-25.png [ 9.58 Кб | Просмотров: 2527 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 18:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sadisasha
Вы ошиблись в самом конце. Нужно:

[math]r=a \sqrt{cos^2(t)+2}[/math]

Тогда [math]S=4\cdot \frac 12 \cdot a^2 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left [ \cos^2(t)+2 \right ] \, dt = \frac 52 \pi a^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 18:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2013, 16:17
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
спасибо я тоже увидел эту ошибку. Я учусь на 1 курсе, мне завтра сдавать контрольную я ее всю сделал и распечатал, только что, но вот в чем дело графики функций брал с сервиса Wolfram|Alpha и к сожалению они моим принтером не пропечатываются вот этот например:
Изображение
не подскажите где можно сделать графики пожирнее

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 18:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
28 май 2013, 16:17
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Aleksey писал(а):
Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен?

Присоеденяюсь к вопросу

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Площадь фигуры, ограниченной неявным уравнением кривой
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 19:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
sadisasha

Я строю в Maple. Толщина любая, цвет любой. Например:

a := 6; plot(sqrt(a^2-x^2+a*sqrt(a^2+x^2)), x = 0 .. 10.5, thickness = 5, color = black);

Изображение

Это как раз Ваша функция, но в декартовых координатах (четверть кривой)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь фигуры ограниченной кривой

в форуме Интегральное исчисление

nastya_2801

0

386

20 окт 2017, 16:21

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Vanessa

2

419

09 мар 2023, 13:32

Вычислить площадь фигуры,ограниченной кривой

в форуме Интегральное исчисление

Linc

1

213

20 ноя 2021, 12:22

Площадь фигуры, ограниченной петлей заданной кривой

в форуме Интегральное исчисление

abakumovs

1

307

07 дек 2019, 14:30

задачи с неявным уравнением

в форуме Дифференциальное исчисление

terra

3

300

28 май 2016, 17:25

Площадь фигуры ограниченной линией в ПСК

в форуме Интегральное исчисление

yURA124

3

194

31 мар 2020, 12:36

Площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Dayl

1

290

25 дек 2018, 15:01

Площадь фигуры, ограниченной кривыми

в форуме Интегральное исчисление

alex_9

3

559

24 фев 2017, 22:43

Площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

Sasha9468

11

306

06 мар 2024, 15:15

Площадь фигуры, ограниченной линиями

в форуме Интегральное исчисление

rafael_

2

334

05 мар 2018, 22:51


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved