Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Aleksey |
|
||
|
Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах [math]y^6=a^2(3y^2-x^2)(x^2+y^2),~a>0.[/math] Уравнение кривой в полярных координатах нашёл: [math]r^2=\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}[/math], что дальше делать? ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Alexdemath |
|
||
|
Теперь приравняйте [math]r[/math] к нулю и ищите корни уравнения на интервале [math][0;2\pi][/math]:
[math]{\left\{\!\begin{gathered}\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi=0,\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math] [math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos^2\varphi=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\frac{1+\cos2\varphi}{2}=\frac{3}{4},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\cos2\varphi=\frac{1}{2},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow}[/math] [math]{\Rightarrow\left\{\!\begin{gathered}\varphi=\pi{k}\pm\frac{\pi}{6},\hfill\\0\leqslant\varphi\leqslant2\pi;\hfill\\\end{gathered}\right.\Rightarrow\left[\!\begin{gathered}\varphi_1=\frac{\pi}{6},~\varphi_2=\frac{5\pi}{6},\hfill\\\varphi_3=\frac{7\pi}{6},~\varphi_4=\frac{11\pi}{6}.\hfill\\\end{gathered}\right.}[/math] Так как искомая площадь ([math]S[/math]) симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим четвёртую её часть, расположенную в первом квадранте: [math]D=\left\{(\varphi,\rho)\in\mathbb{R}^2\mid0\leqslant\rho\leqslant\sqrt{\frac{a^2(3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi)}{\sin^6\varphi}},\,\frac{\pi}{6}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}\right\}.[/math] [math]{\frac{S}{4}=\iint\limits_D\rho\,d\rho\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{3\sin^2\varphi-\cos^2\varphi}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{4\sin^2\varphi-1}{\sin^6\varphi}\,d\varphi=}[/math] [math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\sin^4\varphi}-\frac{1}{\sin^6\varphi}\right)d\varphi=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4}{\cos^4\varphi\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{1}{\cos^6\varphi\operatorname{tg}^6\varphi}\right)d\varphi=}[/math] [math]{=\frac{a^2}{2}\int\limits_{\pi/6}^{\pi/2}\!\left(\frac{4(1+\operatorname{tg}^2\varphi)}{\operatorname{tg}^4\varphi}-\frac{(1+\operatorname{tg}^2\varphi)^2}{\operatorname{tg}^6\varphi}\right)\!\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=\left\{\begin{gathered}\operatorname{tg}\varphi=t,\hfill\\\frac{d\varphi}{\cos^2\varphi}=dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=}[/math] [math]{=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(\frac{4(1+t^2)}{t^4}-\frac{(1+t^2)^2}{t^6}\right)dt=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\int\limits_{1/\sqrt3}^b\!\left(-\frac{1}{t^6}+\frac{2}{t^4}+\frac{3}{t^2}\right)dt=}[/math] [math]{=\left.{\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5t^5}-\frac{2}{3t^3}-\frac{3}{t}\right)}\right|_{1/\sqrt3}^b=\frac{a^2}{2}\lim_{b\to\infty}\!\left(\frac{1}{5b^5}-\frac{2}{3b^3}-\frac{3}{b^2}-\frac{\sqrt{3^5}}{5}+\frac{2\sqrt{3^3}}{3}+3\sqrt3\right)=}[/math] [math]{=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{10\sqrt{3^3}-3\sqrt{3^5}}{15}+3\sqrt3\right)=\frac{a^2}{2}\!\left(\frac{\sqrt3}{5}+3\sqrt3\right)=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.). Итак, имеем: [math]{\frac{S}{4}=\frac{8\sqrt3}{5}\,a^2~\Leftrightarrow~S=\frac{32\sqrt3}{5}\,a^2}[/math] (кв. ед.). Смотрите график данной фигуры при [math]a=1[/math]. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Aleksey |
|
||
|
Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен?
|
|||
| Вернуться к началу | |||
| sadisasha |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
||
|
sadisasha
Вы ошиблись в самом конце. Нужно: [math]r=a \sqrt{cos^2(t)+2}[/math] Тогда [math]S=4\cdot \frac 12 \cdot a^2 \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}\left [ \cos^2(t)+2 \right ] \, dt = \frac 52 \pi a^2[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| sadisasha |
|
||
|
Avgust
спасибо я тоже увидел эту ошибку. Я учусь на 1 курсе, мне завтра сдавать контрольную я ее всю сделал и распечатал, только что, но вот в чем дело графики функций брал с сервиса Wolfram|Alpha и к сожалению они моим принтером не пропечатываются вот этот например: не подскажите где можно сделать графики пожирнее |
|||
| Вернуться к началу | |||
| sadisasha |
|
|
|
Aleksey писал(а): Спасибо большое. Если не секрет - с помощью какой программы график построен? Присоеденяюсь к вопросу |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
||
|
sadisasha
Я строю в Maple. Толщина любая, цвет любой. Например: a := 6; plot(sqrt(a^2-x^2+a*sqrt(a^2+x^2)), x = 0 .. 10.5, thickness = 5, color = black); ![]() Это как раз Ваша функция, но в декартовых координатах (четверть кривой) |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
[ Сообщений: 8 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Площадь фигуры ограниченной кривой
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
386 |
20 окт 2017, 16:21 |
|
| Найти площадь фигуры, ограниченной кривой | 2 |
419 |
09 мар 2023, 13:32 |
|
|
Вычислить площадь фигуры,ограниченной кривой
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
213 |
20 ноя 2021, 12:22 |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной петлей заданной кривой
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
307 |
07 дек 2019, 14:30 |
|
|
задачи с неявным уравнением
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
300 |
28 май 2016, 17:25 |
|
|
Площадь фигуры ограниченной линией в ПСК
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
194 |
31 мар 2020, 12:36 |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной линиями
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
290 |
25 дек 2018, 15:01 |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной кривыми
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
559 |
24 фев 2017, 22:43 |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной линиями
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
306 |
06 мар 2024, 15:15 |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной линиями
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
334 |
05 мар 2018, 22:51 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |