Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Это двойной интеграл, ограниченный прямыми
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=12089
Страница 1 из 1

Автор:  smirnov_andrey [ 20 дек 2011, 20:23 ]
Заголовок сообщения:  Это двойной интеграл, ограниченный прямыми

В Maple сейчас делаю рисунок. Может кого-нибудь натолкнет на решение)

[math]\iint\limits_{D}(x+y)^3(x-y)^2\,dxdy[/math], где [math]D[/math] - квадрат, ограниченный прямыми[math]x+y+4,~x+y=8,~-x+y=2,~ x-y=2[/math]

Спасибо всем!

Автор:  Alexdemath [ 20 дек 2011, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Это двойной интеграл, ограниченный прямыми

smirnov_andrey

Для начала найдите точки пересечения прямых.

Автор:  smirnov_andrey [ 27 дек 2011, 01:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Это двойной интеграл, ограниченный прямыми

Alexdemath

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 29 дек 2011, 02:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Это двойной интеграл, ограниченный прямыми

smirnov_andrey, сделайте очевидную замену переменных

[math]\left\{ \begin{gathered} x + y = u, \hfill \\ x - y = v, \hfill \\ \end{gathered} \right. ~~\Leftrightarrow ~~\left\{\begin{gathered}x = \frac{{u + v}}{2}, \hfill \\ y = \frac{{u - v}}{2}. \hfill \\ \end{gathered}\right.[/math]

[math]J=\left|\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial x}}{{\partial v}}}\\[9pt] {\dfrac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{\dfrac{{\partial y}}{{\partial v}}} \end{array}\!\! \right| = \left|\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{\partial }{{\partial u}}\dfrac{{u + v}}{2}}&{\dfrac{\partial }{{\partial v}}\dfrac{{u + v}}{2}}\\[9pt] {\dfrac{\partial }{{\partial u}}\dfrac{{u - v}}{2}}&{\dfrac{\partial }{{\partial v}}\dfrac{{u - v}}{2}} \end{array}\!\!\right| = \left|\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{2}}&{\dfrac{1}{2}}\\[9pt] {\dfrac{1}{2}}&{ - \dfrac{1}{2}} \end{array}\!\! \right| = - \frac{1}{2} ~~\Rightarrow ~~|J| = \frac{1}{2}[/math]

[math]D^{\ast}= \Bigl\{(u,v)\in\mathbb{R}^2\colon\,4 \leqslant u\leqslant 8,\, -2\leqslant v\leqslant2\Bigr\}[/math]

[math]\iint\limits_D (x+y)^3(x-y)^2\,dxdy= \iint\limits_{D^{\ast}} u^3v^2\,|J|\,dudv= \frac{1}{2}\int\limits_4^8 u^3\,du \int\limits_{-2}^2 v^2\,dv=\ldots=2560[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/