Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить площадь поверхности, заданной параметрически
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=11400
Страница 1 из 1

Автор:  patr [ 13 дек 2011, 11:10 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить площадь поверхности, заданной параметрически

Вычислить площадь поверхности, ограниченной кривой, заданной параметрически

[math]\begin{cases}x=\sin2\varphi,\\y=\sin2\varphi,\end{cases}0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}.[/math]

Автор:  neurocore [ 28 дек 2011, 21:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь поверхности

Прямая x=y? )

Автор:  patr [ 29 дек 2011, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь поверхности

Опечатался...

[math]\begin{cases}x=\sin2\varphi,\\y=\sin4\varphi,\end{cases}0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}.[/math]

Автор:  neurocore [ 29 дек 2011, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь поверхности

Короче идея такая - уравнения у вас в параметрическом виде. Приведём к алгебраическому:
[math]\[\begin{gathered} x = \sin 2\varphi \hfill \\ y = \sin 4\varphi = 2\sin 2\varphi \cos 2\varphi \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
отсюда связь:
[math]\[\begin{gathered} 4{x^2} - {y^2} = 4{x^4} \hfill \\ y = \pm 2x\sqrt {1 - {x^2}} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]
т.к. 0<x<1, то дальнейшие действия - банальное вычисление интеграла:
[math]\[\int\limits_0^1 {dx} \int\limits_{ - 2x\sqrt {1 - {x^2}} }^{2x\sqrt {1 - {x^2}} } {dy} = \int\limits_0^1 {dx4x\sqrt {1 - {x^2}} } = - 2\int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} d(1 - {x^2})} = \, - 2*\frac{2}{3}{(1 - {x^2})^{\frac{3}{2}}}\left| {_0^1 = \frac{4}{3}} \right.\][/math]

Автор:  patr [ 30 дек 2011, 09:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь поверхности

neurocore
у меня что-то такое соотношение не выходит...

Автор:  neurocore [ 30 дек 2011, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: площадь поверхности

[math]\[\begin{gathered} 4{x^2} = 4{\sin ^2}2\varphi \hfill \\ {y^2} = 4{\sin ^2}2\varphi {\cos ^2}2\varphi \hfill \\ 4{x^4} = 4{\sin ^4}2\varphi \hfill \\ 4{x^2} - {y^2} = 4{\sin ^2}2\varphi (1 - {\cos ^2}2\varphi ) = 4{\sin ^4}2\varphi = 4{x^4} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  Alexdemath [ 01 янв 2012, 16:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь поверхности, заданной параметрически

patr

Вы что-то не дописали в условии задания. Проверьте внимательно.

Автор:  patr [ 01 янв 2012, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить площадь поверхности, заданной параметрически

Alexdemath
а что собственно не так? вроде уже решили и правильно...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/