Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти обЪем тела ограниченной заданными поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=11241
Страница 1 из 1

Автор:  VenerK [ 11 дек 2011, 21:09 ]
Заголовок сообщения:  найти обЪем тела ограниченной заданными поверхностями

Изображение

Автор:  Alexdemath [ 11 дек 2011, 22:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти обЪем тела ограниченной заданными поверхностями

VenerK, запишите область T, которую ограничивают данные поверхности (параболоид и плоскость), в виде неравенств и вычисляйте искомый объём тела с помощью тройного интеграла, используя в процессе вычисления полярные координаты:

[math]\begin{aligned}T&=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon~ x^2+y^2\leqslant h^2,~\frac{x^2+y^2}{h}\leqslant z \leqslant h\right\}\\[9pt]V&=\iiint\limits_T dxdydz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant h^2} {dxdy}\int\limits_{\tfrac{x^2+y^2}{h}}^h dz= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant h^2}\!\left(h- \frac{x^2+y^2}{h}\right)\!dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi,\hfill \\y = r\sin \varphi\hfill\end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^h \!\left(h - \frac{r^2}{h}\right)\!r\,dr= 2\pi \left.{\left(\frac{h}{2}\,r^2- \frac{r^4}{4h}\right)}\right|_0^h= 2\pi\!\left(\frac{h^3}{2}- \frac{h^3}{4}\right)= 2\pi\cdot\frac{h^3}{4}= \frac{\pi}{2}\,h^3\end{aligned}[/math]

Автор:  zoom1 [ 29 дек 2011, 22:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти обЪем тела ограниченной заданными поверхностями

а можете помочь с тем же:
x^2+y^2+z^2=2z
x^2+y^2=z^2
(x^2+y^2=<z^2)
(меньше или равно)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/