Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Масса тела, образованного конусом и плоскостями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=11233
Страница 1 из 1

Автор:  sanitarKO [ 11 дек 2011, 20:52 ]
Заголовок сообщения:  Масса тела, образованного конусом и плоскостями

Найти массу тела плотности [math]\rho[/math], ограниченного данными поверхностями

[math]x^2=z^2+y^2,\quad y+z=a~(a>0),\quad z=0,\quad y=0,\quad x=0,\quad \rho=1[/math]

Никто из знакомых помочь не смог, вся надежда на Вас.
Заранее спасибо.

Автор:  neurocore [ 28 дек 2011, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса тела

Какой-то конус, плоскость, всё в (+,+,+) октанте. Рисовали это всё?)

Автор:  Alexdemath [ 30 дек 2011, 01:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса тела

sanitarKO, запишите область, занимаемую данным телом, в виде неравенств и вспомните стандартную формулу

[math]V=\Bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant y\leqslant a,~0 \leqslant z \leqslant a - y,~0 \leqslant x \leqslant\sqrt{y^2+z^2}\Bigr\}[/math]

[math]\begin{aligned}M&= \iiint\limits_V \rho\,dxdydz= \int\limits_0^a dy \int\limits_0^{a - y}dz \int\limits_0^{\sqrt{y^2+z^2}}dx = \int\limits_0^a dy \int\limits_0^{a-y}\!\sqrt{y^2+z^2}\,dz= \left\{ \begin{gathered}y=r\cos\varphi,\hfill\\ z=r\sin\varphi\hfill \end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \int\limits_0^{\tfrac{a}{\sin\varphi+\cos\varphi}}r^2\,dr= \frac{a^3}{3}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{(\sin\varphi+\cos\varphi)^3}= \frac{a^3}{3}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\left[\sqrt2\cos\left(\frac{\pi }{4}-\varphi\right)\right]^3}=\\[2pt] &=\frac{a^3}{6\sqrt2}\int\limits_0^{\pi/2} \frac{d\varphi}{\cos^3\left(\frac{\pi}{4}- \varphi\right)}=\ldots= \frac{a^3}{12}\!\left(2+ \sqrt 2\ln\frac{2+ \sqrt2}{\sqrt2}\right)\end{aligned}[/math]

Автор:  neurocore [ 30 дек 2011, 08:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Масса тела

Alexdemath, как вам удаётся так лихо находить нужные неравенства? Или этому предшествует долгий анализ?)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/