Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=10769
Страница 1 из 1

Автор:  alisia89 [ 04 дек 2011, 21:47 ]
Заголовок сообщения:  Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями:
[math]\begin{gathered}{y^2} - 2y + {x^2} = 0 \hfill \\{y^2} - 4y + {x^2} = 0 \hfill \\y = \sqrt {3x} \hfill \\ x = 0\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  neurocore [ 29 дек 2011, 21:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти площадь фигуры ограниченной данными линиями

[math]\[\begin{gathered} 1){y^2} - 2y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 1)^2} + {x^2} = {1^2} \hfill \\ 2){y^2} - 4y + {x^2} = 0 \Rightarrow {(y - 2)^2} + {x^2} = {2^2} \hfill \\ 3){y^2} = 3x \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

такие вот преобразования. Теперь перейдём к полярным ТАКОЙ заменой:

[math]\[\begin{gathered} x = r\cos \varphi \hfill \\ y = 2 + r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

[math]\[\begin{gathered} 1)r = 2 \hfill \\ 2)r = - 2\sin \varphi \hfill \\ 3)r = \frac{{3\cos \varphi }}{{\sin \varphi }} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Во втором уравнении, если 0 < phi < pi, то r = 0

Далее находим точки пересечения 1-3 и 2-3 приравнивая соответствующие уравнения в полярных:

[math]\[\begin{gathered} 1 - 3){\varphi _1} = \arctan \frac{3}{2} \hfill \\ 2 - 3){\varphi _2} = \arccos ( - \frac{1}{2}) \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

[math]\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{{\varphi _2}} {d\varphi } \int\limits_{ - 2\sin \varphi }^2 {dr} + \int\limits_{{\varphi _2}}^{{\varphi _1}} d\varphi } \int\limits_{\frac{{3\cos \varphi }}{{\sin \varphi }}}^2 {dr} \][/math]

искомый интеграл - дальше сами

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/