Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойные интегралы.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=10209
Страница 1 из 1

Автор:  smirnov_andrey [ 26 ноя 2011, 02:11 ]
Заголовок сообщения:  Двойные интегралы.

Всем привет.
I. Вычислить[math]\iint 6x\,dxdy[/math], где D-область интегрирования, лежащая в первой четверти, ограниченная прямой [math]x+y=8[/math], окружностью [math]x^2+y^2=8y[/math].

II. Вычислить[math]\iint_{D}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}[/math], где [math]D[/math] - вся плоскость [math]Oxy[/math].

III. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь треугольника ABC с вершинами [math]A(3,2),\,B(6,3),\,C(12,1)[/math].

Автор:  smirnov_andrey [ 26 ноя 2011, 02:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

Огромное спасибо откликнувшимся!

Автор:  Alexdemath [ 26 ноя 2011, 03:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

smirnov_andrey писал(а):
Всем привет.
I. Вычислить[math]\iint 6x\,dxdy[/math], где D-область интегрирования, лежащая в первой четверти, ограниченная прямой [math]x+y=8[/math], окружностью [math]x^2+y^2=8y[/math].

Сначала надо найти координаты точек пересечения прямой и окружности, для чего нужно решить систему уравнений:

[math]\begin{gathered}\left\{\!\begin{gathered}x+y=8,\hfill\\ x^2+y^2=8y,\hfill\\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{gathered} x=8-y,\hfill\\ (8-y)^2+y^2=8y,\hfill\\ \end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\!\begin{gathered} x=8-y,\hfill\\ 2y^2 - 24y + 64=0,\hfill\\ \end{gathered}\right.\Leftrightarrow\hfill\\ \Leftrightarrow \left\{\!\begin{gathered} x=8-y,\hfill\\ y^2-12y+32=0,\hfill\\\end{gathered}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{gathered} x=8-y,\hfill\\ \left[\!\begin{gathered}y_1= 4,\hfill\\y_2=8,\hfill\\ \end{gathered}\right.\hfill\\ \end{gathered}\right.\Leftrightarrow \left[\!\begin{gathered}\left\{\!\begin{gathered}x_1=4,\hfill\\y_1=4,\hfill\\ \end{gathered}\right.\hfill\\ \left\{\!\begin{gathered}x_2=0,\hfill\\ y_2=8.\hfill\\ \end{gathered}\right.\hfill\end{gathered}\right. \hfill\end{gathered}[/math]

Запишем область [math]D[/math] в виде неравенств

[math]D=\Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\,4\leqslant y\leqslant8,~8-y \leqslant x\leqslant\sqrt{8y-y^2}\Bigr\}[/math]

Расставим пределы в двойном интеграле и вычислим его

[math]\begin{aligned}\iint\limits_D 6x\,dxdy&= 6\int\limits_4^8 dy \int\limits_{8-y}^{\sqrt{8y-y^2}}x\,dx= 6\int\limits_4^8 dy\!\left.{\frac{x^2}{2}} \right|_{8-y}^{\sqrt{8y-y^2}}= 3\int\limits_4^8 \Bigl[8y-y^2-(8-y)^2\Bigr]dy=\\[2pt] &=3\int\limits_4^8 \Bigl[8y-y^2-(64 -16y+y^2)\Bigr]dy= 3\int\limits_4^8 \Bigl(24y-2y^2-64\Bigr)dy=\\[2pt] &=6\int\limits_4^8 \Bigl(12y-y^2-32\Bigr)dy= \left.{6\!\left(6y^2- \frac{y^3}{3} - 32y\right)}\right|_4^8=\\[2pt] &=6\!\left[6 \cdot 64-\frac{512}{3}-32\cdot8-\left(6\cdot16-\frac{64}{3}-32\cdot4\right)}\right]=\\[2pt] &=6\!\left[384-\frac{512}{3}-256- \left(96-\frac{64}{3}-128}\right)\right]=\\[2pt] &=6\!\left[128-\frac{512}{3}-\left(-32-\frac{64}{3}\right)\right]= 6\!\left(160-\frac{448}{3}\right)= 6\cdot\frac{32}{3}=64 \end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 26 ноя 2011, 04:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

smirnov_andrey писал(а):
Всем привет.
II. Вычислить[math]\iint_{D}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}[/math], где [math]D[/math] - вся плоскость [math]Oxy[/math].

Перейдите к полярным координатам

[math]\begin{aligned}\iint\limits_D \frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}&= \iint\limits_{\mathbb{R}^2}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}= \left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\ y=r\sin\varphi\hfill\end{gathered}\right\} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \lim_{b\to+\infty} \int\limits_0^b \frac{r\,dr}{(1+r^2)^6}=\\[2pt] &=\pi\lim_{b\to+\infty} \int\limits_0^b (1+r^2)^{-6}d(1+r^2)= \left.{-\frac{\pi}{5}\lim_{b\to+\infty}(1+r^2)^{-5}}\right|_0^b=\\[2pt] &=-\frac{\pi}{5}\lim_{b\to+\infty}\!\left[\frac{1}{(1+b^2)^5}-1\right]= -\frac{\pi}{5}\cdot(0-1)=\frac{\pi}{5} \end{aligned}[/math]

Автор:  Alexdemath [ 26 ноя 2011, 04:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

smirnov_andrey писал(а):
Всем привет.
III. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь треугольника ABC с вершинами [math]A(3,2),\,B(6,3),\,C(12,1)[/math].

Составьте, для начала, уравнения сторон треугольника.

Автор:  SzaryWilk [ 26 ноя 2011, 04:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

[math]I_{II}=\iint_{\mathbb{R}^2}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}=\lim_{R\rightarrow\infty}\iint_{x^2+y^2\leq R}\frac{dxdy}{(1+x^2+y^2)^6}=...[/math]


Полярные координаты:

[math]x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi, \hspace{3mm}r\in(0,R],\hspace{3mm}\varphi\in[0,2\pi), \hspace{3mm}J=r[/math]


[math]...=\lim_{R\rightarrow\infty}\int_0^{2\pi}d\varphi\cdot\int_0^R\frac{r}{(1+r^2)^6}dr=2\pi\lim_{R\rightarrow\infty}\Big(-\frac{1}{10}\Big)\frac{1}{(1+r^2)^5}\Big|_0^R=\frac{\pi}{5}[/math]

Автор:  smirnov_andrey [ 07 янв 2012, 12:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

Alexdemath
Есть прогресс! Уравнения сторон AB, BC, AC соответственно [math]y = (1/3)*x+1, y = -(1/3)*x+5, y = 7/3-(1/9)*x[/math]
Изображение

Единственное, что пришло на ум-это опустить из точки B перпендикуляр на ось X, через AC. Поделить треугольник на два...

Автор:  Alexdemath [ 07 янв 2012, 13:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

smirnov_andrey

Верное думаете. Уравнение перпендикуляра к оси абсцисс из вершины B: x=6.

Автор:  smirnov_andrey [ 09 янв 2012, 01:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

Alexdemath
Помогите составить эти два интеграла, пожалуйста.

Автор:  smirnov_andrey [ 09 янв 2012, 20:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные интегралы.

именно двойные не могу понять как составить. обычными получилось и ответ 2,5. Прошу помощи в составлении

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/