Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 36 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
hyoxdc |
|
|
При этом число [math]0[/math] - корень кратности [math]n - 1[/math] многочлена [math]f(x)[/math], числа [math]1, 2, ...,m[/math] - корни кратности [math]n[/math], то отсюда следует, что производная [math]n - 1[/math] порядка равна [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math] Я знаю, откуда следуют [math]f^{(l)}(0)=0, l = 1, 2, ... n - 2[/math] [math]f^{(l)}(k)=0, l = 1, 2, ... n - 1; k = 1, 2, ..., m[/math] Из теоремы - Простой корень многочлена не является корнем его производной; кратный корень кратности [math]k > 1[/math] является корнем производной, и кратность его в производной равна [math]k - 1[/math] Но я никак не пойму откуда следует [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math] Возможно, пригодится лемма 1: если [math]g(x)[/math] – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого [math]k \in \mathbb{N}[/math] все коэффициенты его [math]k[/math]-ой производной [math]f^{(k)}(x)[/math] делятся на [math]k![/math] |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Индукцией по n легко показать
|
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное
|
||
Вернуться к началу | ||
hyoxdc |
|
|
swan
"Индукцией по n легко показать" А могли бы показать, как это lдоказательство конкретно выглядит? |
||
Вернуться к началу | ||
hyoxdc |
|
|
MihailM
"Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное" Я знаю эту формулу, я пытался по ней, но я запутывался в километровом многочлене. Покажите, как выглядит ваше доказательство. |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
hyoxdc писал(а): Покажите, как выглядит ваше доказательство Выпишите сначала формулу Лейбница для производной порядка n-1 |
||
Вернуться к началу | ||
hyoxdc |
|
|
MihailM
Пусть [math]g(x) = x^{n - 1}[/math] и [math]p(x) = \dfrac{(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы. [math]f^{(n-1)}(x)=(g(x)p(x))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n-1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x)[/math] Последний раз редактировалось hyoxdc 22 фев 2021, 19:30, всего редактировалось 3 раз(а). |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
(n-1)! лучше вообще выведите за скобки, но это не принципиально.
Ну и подставляйте х=0 и все получите. Почти все слагаемые в сумме будут равны нулю |
||
Вернуться к началу | ||
hyoxdc |
|
|
MihailM
[math]f^{(n-1)}(0)=(g(0)p(0))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n - 1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x) = \dfrac{1}{(n-1)!}\C_{n-1}^{n-1}g^{(0)}(0)p^{(n - 1)}(0)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
MihailM |
|
|
hyoxdc, пора уже начинать думать)
Чему равны разные производные g(x) в нуле? |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 36 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Чему равна частная производная
в форуме Дифференциальное исчисление |
11 |
525 |
12 фев 2018, 11:53 |
|
Доказать, что производная в точке равна нулю
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
708 |
26 янв 2016, 21:17 |
|
Производная n-го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
503 |
26 апр 2014, 00:32 |
|
Производная n-ого порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
567 |
11 май 2015, 20:53 |
|
Производная n-го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
299 |
01 май 2015, 23:17 |
|
Производная 2го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
16 |
433 |
21 мар 2023, 21:13 |
|
Производная 12-го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
314 |
17 апр 2014, 19:53 |
|
Производная 1-го и 2-го порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
3 |
545 |
14 июн 2018, 15:19 |
|
Производная третьего порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
232 |
11 июл 2020, 06:18 |
|
Производная высшего порядка
в форуме Дифференциальное исчисление |
6 |
305 |
23 ноя 2021, 17:55 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |