Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=18&t=73386
Страница 1 из 4

Автор:  hyoxdc [ 22 фев 2021, 14:52 ]
Заголовок сообщения:  Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

Есть многочлен [math]f(x) = \dfrac{x^{n - 1}(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы.

При этом число [math]0[/math] - корень кратности [math]n - 1[/math] многочлена [math]f(x)[/math], числа [math]1, 2, ...,m[/math] - корни кратности [math]n[/math], то отсюда следует, что производная [math]n - 1[/math] порядка равна [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math]
Я знаю, откуда следуют
[math]f^{(l)}(0)=0, l = 1, 2, ... n - 2[/math]
[math]f^{(l)}(k)=0, l = 1, 2, ... n - 1; k = 1, 2, ..., m[/math]
Из теоремы - Простой корень многочлена не является корнем его производной; кратный корень кратности [math]k > 1[/math] является корнем производной, и кратность его в производной равна [math]k - 1[/math]
Но я никак не пойму откуда следует [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math]

Возможно, пригодится лемма 1: если [math]g(x)[/math] – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого [math]k \in \mathbb{N}[/math] все коэффициенты его [math]k[/math]-ой производной [math]f^{(k)}(x)[/math] делятся на [math]k![/math]

Автор:  swan [ 22 фев 2021, 16:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

Индукцией по n легко показать

Автор:  MihailM [ 22 фев 2021, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное

Автор:  hyoxdc [ 22 фев 2021, 17:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

swan
"Индукцией по n легко показать"
А могли бы показать, как это lдоказательство конкретно выглядит?

Автор:  hyoxdc [ 22 фев 2021, 17:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

MihailM
"Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное"
Я знаю эту формулу, я пытался по ней, но я запутывался в километровом многочлене. Покажите, как выглядит ваше доказательство.

Автор:  MihailM [ 22 фев 2021, 17:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

hyoxdc писал(а):
Покажите, как выглядит ваше доказательство

Выпишите сначала формулу Лейбница для производной порядка n-1

Автор:  hyoxdc [ 22 фев 2021, 18:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

MihailM
Пусть [math]g(x) = x^{n - 1}[/math] и [math]p(x) = \dfrac{(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы.
[math]f^{(n-1)}(x)=(g(x)p(x))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n-1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x)[/math]

Автор:  MihailM [ 22 фев 2021, 18:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

(n-1)! лучше вообще выведите за скобки, но это не принципиально.
Ну и подставляйте х=0 и все получите. Почти все слагаемые в сумме будут равны нулю

Автор:  hyoxdc [ 22 фев 2021, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

MihailM
[math]f^{(n-1)}(0)=(g(0)p(0))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n - 1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x) = \dfrac{1}{(n-1)!}\C_{n-1}^{n-1}g^{(0)}(0)p^{(n - 1)}(0)[/math]

Автор:  MihailM [ 22 фев 2021, 21:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?

hyoxdc, пора уже начинать думать)
Чему равны разные производные g(x) в нуле?

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/