Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 24 фев 2021, 22:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
slava_psk
Помогите мне разобраться в теме, написанная выше. Я никак не могу это доказать.
Останавливаюсь на многочлене по формуле Лейбница [math]p(x) = (x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n[/math]
Как найти [math]p^{(n - 1)}(0)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 25 фев 2021, 01:04 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
26 янв 2021, 03:04
Сообщений: 121
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
32 раз в 27 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hyoxdc писал(а):
slava_psk
Помогите мне разобраться в теме, написанная выше. Я никак не могу это доказать.
Останавливаюсь на многочлене по формуле Лейбница [math]p(x) = (x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n[/math]
Как найти [math]p^{(n - 1)}(0)[/math]

Вы неправильный вопрос задали. Правильный - зачем?
Вам советовали найти производную при малых n. Например, при n=2, 3. Найдите. Увидите, где вы ошибаетесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2021, 14:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mysz
swan
MihailM
Теорема:
Если дан многочлен [math]f(x) = \dfrac{x^{n - 1}(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы, то его производная [math]n - 1[/math] порядка равна [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math].
Доказательство:
Рассмотрим многочлен [math]f(x) = \dfrac{x^{n - 1}(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math] и вынесим показатель степени [math]n[/math] за скобку.
[math]f(x) = \dfrac{x^{n - 1}(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!} = \dfrac{x^{n - 1}((x - 1)(x - 2)...(x - m))^n}{(n-1)!}[/math]
Очевидно, что в скобках находится многочлен [math](x - 1)(x - 2)...(x - m)[/math] с корнями [math]1,2,3...m[/math]
Раскроем его [math](x - 1)(x - 2)...(x - m) = x^m...(-1)^{m}(m!)[/math]
[math](-1)^{m}[/math] отвечает за знак в зависимости от чётности [math]m[/math]
Получаем [math]\dfrac{x^{n - 1}((x - 1)(x - 2)...(x - m))^n}{(n-1)!} = \dfrac{x^{n - 1}(x^m...(-1)^{m}(m!))^n}{(n-1)!}[/math]
По полиному Ньютона получаем [math]\dfrac{x^{n - 1}(x^m...(-1)^{m}(m!))^n}{(n-1)!} = \dfrac{x^{n - 1}(x^{mn}...(-1)^{mn}(m!)^n)}{(n-1)!}[/math]
Окончательно [math]\dfrac{x^{n - 1}(x^{mn}...(-1)^{mn}(m!)^n)}{(n-1)!} = \dfrac{x^{mn + n - 1}...(-1)^{mn}(m!)^nx^{n - 1}}{(n-1)!}[/math]
Используя формулу производной [math]y' = nx^{n - 1}[/math] получаем:
[math]f^{(n-1)}(x) = \dfrac{(n - 1)!x^{mn}...(n - 1)!(-1)^{mn}(m!)^n}{(n-1)!} = x^{mn}...(-1)^{mn}(m!)^n[/math] откуда при [math]x = 0[/math] следует [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math]
Теорема доказана.


Последний раз редактировалось hyoxdc 27 фев 2021, 14:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2021, 14:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2778
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
556 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сойдет.
Тут как говорится бешенной лисице семь верст не крюк)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2021, 15:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6480
Cпасибо сказано: 100
Спасибо получено:
1496 раз в 1363 сообщениях
Очков репутации: 264

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все доказательство можно свести к почти очевидному
[math](x^{n-1}P(x))^{(n-1)}=(n-1)!\cdot P(0)[/math]

hyoxdc, откуда у вас такая неприязнь к плюсам? На весь огромный пост с формулами, с многочленами - ни одного!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 27 фев 2021, 15:18 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2778
Cпасибо сказано: 53
Спасибо получено:
556 раз в 525 сообщениях
Очков репутации: 51

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
hyoxdc, откуда у вас такая неприязнь к плюсам? На весь огромный пост с формулами, с многочленами - ни одного!

Западает может кнопка или надпись стерлась.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  Страница 4 из 4 [ Сообщений: 36 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Чему равна частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

tanyhaftv

11

411

12 фев 2018, 11:53

Доказать, что производная в точке равна нулю

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

3

261

26 янв 2016, 21:17

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Arisha1990

1

326

26 апр 2014, 00:32

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Anastasija

1

673

10 май 2013, 09:53

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

ForlFalk

1

220

01 май 2015, 23:17

Производная n-ого порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

eiska

1

283

11 май 2015, 20:53

Производная 12-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

1

233

17 апр 2014, 19:53

Производная 1-го и 2-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

kirigeor97

3

397

14 июн 2018, 15:19

Производная первого порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

prokas

15

978

21 янв 2012, 23:34

Производная третьего порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Andrey82

2

128

11 июл 2020, 06:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: God_mode_2016, ladislaus232, Pirinchily и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved