Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 14:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть многочлен [math]f(x) = \dfrac{x^{n - 1}(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы.

При этом число [math]0[/math] - корень кратности [math]n - 1[/math] многочлена [math]f(x)[/math], числа [math]1, 2, ...,m[/math] - корни кратности [math]n[/math], то отсюда следует, что производная [math]n - 1[/math] порядка равна [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math]
Я знаю, откуда следуют
[math]f^{(l)}(0)=0, l = 1, 2, ... n - 2[/math]
[math]f^{(l)}(k)=0, l = 1, 2, ... n - 1; k = 1, 2, ..., m[/math]
Из теоремы - Простой корень многочлена не является корнем его производной; кратный корень кратности [math]k > 1[/math] является корнем производной, и кратность его в производной равна [math]k - 1[/math]
Но я никак не пойму откуда следует [math]f^{(n-1)}(0)=(-1)^{mn}(m!)^n[/math]

Возможно, пригодится лемма 1: если [math]g(x)[/math] – многочлен с целыми коэффициентами, то для любого [math]k \in \mathbb{N}[/math] все коэффициенты его [math]k[/math]-ой производной [math]f^{(k)}(x)[/math] делятся на [math]k![/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 16:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 6399
Cпасибо сказано: 99
Спасибо получено:
1473 раз в 1343 сообщениях
Очков репутации: 270

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Индукцией по n легко показать

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 16:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2549
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
515 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 48

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 17:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan
"Индукцией по n легко показать"
А могли бы показать, как это lдоказательство конкретно выглядит?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 17:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM
"Еще проще по формуле Лейбница: x^(n-1) и все остальное"
Я знаю эту формулу, я пытался по ней, но я запутывался в километровом многочлене. Покажите, как выглядит ваше доказательство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 17:43 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2549
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
515 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 48

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hyoxdc писал(а):
Покажите, как выглядит ваше доказательство

Выпишите сначала формулу Лейбница для производной порядка n-1

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 18:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM
Пусть [math]g(x) = x^{n - 1}[/math] и [math]p(x) = \dfrac{(x - 1)^n(x - 2)^n...(x - m)^n}{(n-1)!}[/math], где [math]n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N}[/math] и они константы.
[math]f^{(n-1)}(x)=(g(x)p(x))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n-1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x)[/math]


Последний раз редактировалось hyoxdc 22 фев 2021, 19:30, всего редактировалось 3 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 18:44 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2549
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
515 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 48

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
(n-1)! лучше вообще выведите за скобки, но это не принципиально.
Ну и подставляйте х=0 и все получите. Почти все слагаемые в сумме будут равны нулю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 19:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 фев 2021, 14:39
Сообщений: 18
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
MihailM
[math]f^{(n-1)}(0)=(g(0)p(0))^{(n-1)}=\dfrac{1}{(n-1)!}\sum\limits_{k = 0}^{n - 1}C_{n - 1}^kg^{(n-1-k)}(x)p^{(k)}(x) = \dfrac{1}{(n-1)!}\C_{n-1}^{n-1}g^{(0)}(0)p^{(n - 1)}(0)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Откуда следует, что производная n - 1 порядка равна?
СообщениеДобавлено: 22 фев 2021, 21:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 2549
Cпасибо сказано: 47
Спасибо получено:
515 раз в 485 сообщениях
Очков репутации: 48

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
hyoxdc, пора уже начинать думать)
Чему равны разные производные g(x) в нуле?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 36 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Чему равна частная производная

в форуме Дифференциальное исчисление

tanyhaftv

11

392

12 фев 2018, 11:53

Доказать, что производная в точке равна нулю

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

3

239

26 янв 2016, 21:17

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Arisha1990

1

292

26 апр 2014, 00:32

Производная 1-го и 2-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

kirigeor97

3

388

14 июн 2018, 15:19

Производная n-ого порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

eiska

1

276

11 май 2015, 20:53

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Anastasija

1

665

10 май 2013, 09:53

Производная 12-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

lllulll

1

222

17 апр 2014, 19:53

Производная n-го порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

ForlFalk

1

214

01 май 2015, 23:17

Производная второго порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Diana

1

568

29 ноя 2011, 16:34

Производная дробного порядка

в форуме Дифференциальное исчисление

Rawitj

2

124

21 авг 2020, 14:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2021 MathHelpPlanet.com. All rights reserved