Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 22:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 авг 2019, 21:39
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые пользователи форума.
Объясните смысл понятия "производная" на пальцах.
Проблема в понимании: классическое определение звучит примерно так: Производная функции — понятие, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как отношение приращения функции к приращению её аргумента.
В качестве примера приводится примерно следующее:

Что такое "скорость изменения"? Представим себе функцию f(x) = 5. Вне зависимости от значения аргумента (х) ее значение никак не изменяется. То есть, скорость ее изменения равна нулю.

Теперь рассмотрим функцию f(x) = x. Производная х равна единице. Действительно, легко заметить, что на каждое изменение аргумента (х) на единицу, значение функции прирастает также на единицу.


А как быть с производной X^2?
Смысл моего "непонимания" - если производная характеризует скорость изменения функции (как в примерах выше), то что происходит в случае с f(x) = x^2? (производная равна 2х)
При х=0, f(x) = 0, f'(x) = 0.
При х=1, f(x) = 1, f'(x) = 2.
при х=2, f(x) = 4, f'(x) = 4.
при х=3, f(x) = 9, f'(x) = 6.
и т.д.

То есть, при х=3, аргумент прирос на единицу, функция приросла на 5, а производная показывает изменение на 6.. что-то я никак не пойму данный момент, буду благодарен, если разжуете эту элементарщину. Спасибо. :oops:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 23:07 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3718
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1257 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Производная показывает мгновенную скорость изменения функции в данной точке, а не приращение функции на промежутке, где скорость может меняться.
Если говорить о приращении функции, то производная определяет только её линейную часть (поэтому только для линейной функции приращение функции можно выразить через производную). Полное приращение функции на каком-то промежутке равно сумме линейной, квадратичной (которая выражается уже через вторую производную) и следующих частей (с производными высших порядков)...
Одним словом, на одних пальцах смысл производной нельзя полностью постичь.
А разжевывать эту не "элементарщину" Вы должны сами. Кстати разжевывать - одними пальцами не обойтись!


Последний раз редактировалось michel 08 авг 2019, 23:43, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
Phamster
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 23:42 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1755
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
510 раз в 490 сообщениях
Очков репутации: 181

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Phamster,[/math]
Eсли [math]f(x)= x^2[/math] то [math]f'(x_{0} )= \lim_{\Delta x \to 0 } \frac{ f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{ \Delta x } = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{ (x_{0} + \Delta x)^2 - x^2_{0} }{ \Delta x } =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{ 2 x_{0} \cdot \Delta x +(\Delta x)^2}{ \Delta x } = 2x_{0}+\lim_{\Delta x \to 0}\Delta x =2x_{0}[/math]
Так что если ф-я изминяется в квадрат относно аргументу, то производная меняется как удвоения аргумента, которая являеться коефициент перед линейной части приращения!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 08 авг 2019, 23:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3718
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1257 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Вы не очень хорошо понимаете русский язык и в данном случае НЕ отвечаете на вопрос ТС, так как просто не поняли его.
ТС не понимает связи между приращением функции и её производной. Имеется в виду выражение конечного приращения функции через производную, а не наоборот.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 09 авг 2019, 09:25 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 1755
Cпасибо сказано: 56
Спасибо получено:
510 раз в 490 сообщениях
Очков репутации: 181

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]michel,[/math]
Я имел это в виду :
Phamster писал(а):
То есть, при х=3, аргумент прирос на единицу, функция приросла на 5, а производная показывает изменение на 6..

И попитался, объяснить ему, что когда ф-я приростает в квадрат относно значение аргумента - то значение производной
удваивается относно аргумента и попитался выложит более подробно почему это так!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 11 авг 2019, 04:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
08 авг 2019, 21:39
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо.
Получается производная это скорее самое минимальное приращение функции при самом минимальном приращении аргумента?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Производная. Смысл производной на пальцах
СообщениеДобавлено: 11 авг 2019, 09:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 3718
Cпасибо сказано: 109
Спасибо получено:
1257 раз в 1168 сообщениях
Очков репутации: 180

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Правильно говорить, что не производная, а её произведение на дифференциал аргумента определяют линейную часть приращения функции: [math]f(x_0+ \Delta x)-f(x_0)=f'(x_0) \Delta x+...[/math]. Следующие нелинейные слагаемые [math]\frac{ 1 }{ 2 }{ f''(x_0) } (\Delta x)^{ 2 }+...[/math] могут быть отрицательными, поэтому нельзя говорить, что первая часть приращения функции определяет минимум полного приращения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Как правильно сформулировать физический смысл производной?

в форуме Размышления по поводу и без

sfanter

36

1151

23 янв 2016, 10:10

Геометрический смысл производной обратной функции

в форуме Дифференциальное исчисление

sfanter

2

364

06 ноя 2015, 11:30

Задачи на физический и геометрический смысл производной

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

rodion-hamster18

6

591

06 дек 2012, 05:15

Производная. Применение производной для исследования функци

в форуме Алгебра

Jenefy

1

319

12 апр 2012, 10:48

Определение выпуклой функции пальцах

в форуме Дифференциальное исчисление

lampard

7

331

07 дек 2011, 02:58

Master Theory (или релятивизм на пальцах)

в форуме Специальные разделы

Masterov

4

546

10 дек 2014, 18:45

Применяя определение производной вывести формулу производной

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

nus86

1

1107

26 янв 2011, 13:38

Объясните "на пальцах" пошагово упрощение выражения.

в форуме Алгебра

expmy

22

390

29 окт 2017, 00:24

В чем смысл

в форуме Теория вероятностей

tanyhaftv

0

116

24 июн 2018, 15:16

Смысл формулы

в форуме Размышления по поводу и без

3axap

19

838

29 авг 2017, 14:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved