Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
bylbyl9tor |
|
||
|
|||
Вернуться к началу | |||
Tantan |
|
||
При функции многих переменных, дифференцируемость в точку надо панимать так :
Ф-я [math]f(x_{1},...,x_{n} )[/math] дифференцируемая в т. [math](x_{1}^{0},...,x_{n}^{0} )[/math] если у нее есть частные производные по каждую из [math]n[/math] - переменных. 1) Здесь возможно, что при некие из переменных у ф-ии есть производные, а при другие нет производную; 2) Для ф-ии одной переменной известно, что если в какая т.[math]x_{0}[/math] она дифференцируема то в этой точки она же и неперерывна! Не такое дело для ф-ии многих переменных! Можно в какой то точки у ф-ии многих переменных есть производные по всех переменных, а функция быть разрывной в этой точки! Например, такая ф-я : [math]f(x,y) =\left\{\!\begin{aligned} & \frac{ xy }{ x^2 + y^2 } , x^2 + y^2 \ne 0 \\ & f(0,0) = 0 \end{aligned}\right.[/math] У этой ф-ии есть частные производные и по [math]x[/math] и по [math]y[/math] в т. (0,0), но ф-я перерывна в этой точки. |
|||
Вернуться к началу | |||
Space |
|
||
Вообще говоря, наличие частных производных не достаточно для дифференцируемости. Функция дифференцируема, если у неё есть дифференциал. Простыми словами, наличие дифференциала в точке — это возможность приблизить функцию линейной функцией в окрестности этой точки.
|
|||
Вернуться к началу | |||
Tantan |
|
||
Space писал(а): Вообще говоря, наличие частных производных не достаточно для дифференцируемости. Функция дифференцируема, если у неё есть дифференциал Если у ф-ии [math]n[/math] - переменных есть все частные производные в какой нибудь точку [math](x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})[/math], т.е. существует [math]\frac{\partial f(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}{\partial x_{1} },..., \frac{\partial f(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}{\partial x_{n} }[/math], то под тотальны дифференциал в этой точку понимаеться : [math]df(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})= \frac{\partial f(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}{\partial x_{1} }dx_{1}+ \cdot \cdot \cdot +\frac{ \partial f(x_{1}^{0},...,x_{n}^{0})}{\partial x_{n} }dx_{n}[/math] , так что существование все частные производные в какой то точку необходимо и достаточно для существование тотального дифференциала в этой точку. Может быть под дифференциал ф-ии в точку, Вы понимаете что то друго? |
|||
Вернуться к началу | |||
Space |
|
||
Tantan писал(а): Может быть под дифференциал ф-ии в точку, Вы понимаете что то друго? Да, Вы правы. Я понимаю полный дифференциал по-другому. Я считаю [math]df(x_0)[/math] дифференциалом функции [math]f(x)[/math] в точке [math]x_0 \in \mathbb{R}^n[/math], только если [math]f(x) = f(x_0) + df(x_0) + o(x-x_0)[/math] при [math]x \to x_0[/math]. |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |