Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Merhaba |
|
|
|
Помогите Пожалуйста записать оператор Лапласа в полярной системе координат: [math]Lu=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}[/math] Напишите Пожалуйста поподробнее! ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
1.Коэффициенты Ламе.
[math]\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \left( \varphi \right) \hfill \\ y = r\sin \left( \varphi \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\begin{gathered} Lu = \frac{1}{{{h_r}{h_\varphi }}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{{h_\varphi }}}{{{h_r}}}\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{h_r}{h_\varphi }}}\frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{{h_r}}}{{{h_\varphi }}}\frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}} \right) \hfill \\ {h_r} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial r}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}} \right)}^2}} = 1 \hfill \\ {h_\varphi } = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}} = r \hfill \\ Lu = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] 2. Производная сложной функции. [math]\left\{ \begin{gathered} r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \varphi = arctg\left( {\frac{y}{x}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] [math]\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{\partial r}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}[/math] [math]\begin{gathered} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}} = \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}}{\cos ^2}\left( \varphi \right) - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial r\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}\frac{{{{\sin }^2}\left( \varphi \right)}}{{{r^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{{{\sin }^2}\left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{\partial r}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}[/math] [math]\begin{gathered} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} = \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}}{\sin ^2}\left( \varphi \right) + 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial r\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}\frac{{{{\cos }^2}\left( \varphi \right)}}{{{r^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{{{\cos }^2}\left( \varphi \right)}}{r} - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]Lu = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}} + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Bonaqua, mad_math, Merhaba |
||
| Merhaba |
|
|
|
erjoma
Скажите Пожалуйста, какую литературу вы использовали при решении данного задания? |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Формулу производной сложной функции можно найти в любом учебнике мат. анализа.
По коэффициентам Ламе литературу не припомню. При решении с помощью коэффициентов Ламе я подсматривал в Википедию. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Merhaba |
||
| Merhaba |
|
|
|
Объясните Пожалуйста систему, которая написана после "2. Производная сложной функции."
|
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Merhaba писал(а): Объясните Пожалуйста систему, которая написана после "2. Производная сложной функции." Координаты полярной с.к. через координаты декартовой с.к. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Merhaba |
||
| Merhaba |
|
|
|
erjoma
Спасибо Вам большое за помощь!!! ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| Merhaba |
|
|
|
erjoma
Как я понял, это 2 решения одного и того же задания или как? |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
Merhaba писал(а): erjoma Как я понял, это 2 решения одного и того же задания или как? Да, два решения. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Merhaba |
|
|
|
erjoma
Объясните Пожалуйста, а почему вы используете такие формулы координат полярной с.к. через координаты декартовой с.к., а не такие: [math]\left\{ \begin{gathered} x = r\cos (\varphi ) \hfill \\ y = r\sin (\varphi ) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Записать векторное поле в полярной системе координат
в форуме Векторный анализ и Теория поля |
7 |
1718 |
01 июл 2018, 13:04 |
|
| График в полярной системе координат | 6 |
770 |
16 ноя 2015, 13:45 |
|
| Задача по полярной системе координат | 2 |
417 |
03 фев 2020, 21:50 |
|
| Пример по полярной системе координат | 9 |
768 |
18 окт 2016, 13:42 |
|
| построить кривую в полярной системе координат | 1 |
716 |
14 дек 2014, 21:33 |
|
| Построить кривую в полярной системе координат | 2 |
633 |
28 мар 2016, 23:06 |
|
| Построить кривую в полярной системе координат : ρ=2φ | 5 |
345 |
29 ноя 2019, 00:06 |
|
| Построить кривую в полярной системе координат | 1 |
250 |
08 июн 2020, 14:23 |
|
|
Двойной интеграл в полярной системе координат
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
268 |
06 апр 2016, 19:34 |
|
| Уравнение гиперболы в полярной системе координат | 1 |
201 |
02 дек 2022, 02:58 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |