Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Записать оператор Лапласа в полярной системе координат
СообщениеДобавлено: 27 май 2011, 21:58 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый Вечер!!!
Помогите Пожалуйста записать оператор Лапласа в полярной системе координат:

[math]Lu=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}[/math]

Напишите Пожалуйста поподробнее! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 08:53 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1.Коэффициенты Ламе.
[math]\left\{ \begin{gathered} x = r\cos \left( \varphi \right) \hfill \\ y = r\sin \left( \varphi \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\begin{gathered} Lu = \frac{1}{{{h_r}{h_\varphi }}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{{h_\varphi }}}{{{h_r}}}\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{h_r}{h_\varphi }}}\frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{{h_r}}}{{{h_\varphi }}}\frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}} \right) \hfill \\ {h_r} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial r}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}} \right)}^2}} = 1 \hfill \\ {h_\varphi } = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial x}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial y}}{{\partial \varphi }}} \right)}^2}} = r \hfill \\ Lu = \frac{1}{r}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r\frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
2. Производная сложной функции.
[math]\left\{ \begin{gathered} r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \varphi = arctg\left( {\frac{y}{x}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]
[math]\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{\partial r}}{{\partial x}} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}[/math]
[math]\begin{gathered} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\cos \left( \varphi \right) - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{{ - y}}{{{x^2} + {y^2}}} = \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}}{\cos ^2}\left( \varphi \right) - 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial r\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}\frac{{{{\sin }^2}\left( \varphi \right)}}{{{r^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{{{\sin }^2}\left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{\partial r}}{{\partial y}} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} = \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}[/math]
[math]\begin{gathered} \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{\partial }{{\partial \varphi }}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial r}}\sin \left( \varphi \right) + \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\cos \left( \varphi \right)}}{r}} \right) \cdot \frac{x}{{{x^2} + {y^2}}} = \hfill \\ \ \ \ \ \ \ \ = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}}{\sin ^2}\left( \varphi \right) + 2\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial r\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}\frac{{{{\cos }^2}\left( \varphi \right)}}{{{r^2}}} + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}\frac{{{{\cos }^2}\left( \varphi \right)}}{r} - \frac{{\partial u}}{{\partial \varphi }}\frac{{\sin \left( \varphi \right)\cos \left( \varphi \right)}}{r^2} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
[math]Lu = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {y^2}}} = \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {r^2}}} + \frac{1}{r}\frac{{\partial u}}{{\partial r}} + \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\varphi ^2}}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Bonaqua, mad_math, Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 19:38 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Скажите Пожалуйста, какую литературу вы использовали при решении данного задания?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 20:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Формулу производной сложной функции можно найти в любом учебнике мат. анализа.
По коэффициентам Ламе литературу не припомню. При решении с помощью коэффициентов Ламе я подсматривал в Википедию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 20:25 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Объясните Пожалуйста систему, которая написана после "2. Производная сложной функции."

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 20:35 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Merhaba писал(а):
Объясните Пожалуйста систему, которая написана после "2. Производная сложной функции."


Координаты полярной с.к. через координаты декартовой с.к.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 20:41 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Спасибо Вам большое за помощь!!! :Rose:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 21:23 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Как я понял, это 2 решения одного и того же задания или как?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 28 май 2011, 21:26 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Merhaba писал(а):
erjoma
Как я понял, это 2 решения одного и того же задания или как?


Да, два решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Оператор Лапласа
СообщениеДобавлено: 14 июн 2011, 07:45 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Объясните Пожалуйста, а почему вы используете такие формулы координат полярной с.к. через координаты декартовой с.к., а не такие:
[math]\left\{ \begin{gathered}
x = r\cos (\varphi ) \hfill \\
y = r\sin (\varphi ) \hfill \\
\end{gathered} \right.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Записать векторное поле в полярной системе координат

в форуме Векторный анализ и Теория поля

Mezitor

7

1718

01 июл 2018, 13:04

График в полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Bunny987

6

770

16 ноя 2015, 13:45

Задача по полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

kontik2020

2

417

03 фев 2020, 21:50

Пример по полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

P0KeTa

9

768

18 окт 2016, 13:42

построить кривую в полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

rewera

1

716

14 дек 2014, 21:33

Построить кривую в полярной системе координат

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

cincinat

2

633

28 мар 2016, 23:06

Построить кривую в полярной системе координат : ρ=2φ

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Jujutopl

5

345

29 ноя 2019, 00:06

Построить кривую в полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

pg333

1

250

08 июн 2020, 14:23

Двойной интеграл в полярной системе координат

в форуме Интегральное исчисление

Dina86

2

268

06 апр 2016, 19:34

Уравнение гиперболы в полярной системе координат

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Goddamnthisfckngsht

1

201

02 дек 2022, 02:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved