Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 11 окт 2018, 21:20 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 июн 2014, 20:02
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Исследовать на условный экстремум [math]z=xy[/math] при [math]x^{2}+y^{2}=1[/math]
Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у. То есть получается, то х и у могут быть любыми - что это значит? И как тогда найти точку, которую проверяем на наличие экстремума?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 11 окт 2018, 21:52 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3370
Cпасибо сказано: 571
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
salainenkappale писал(а):
Исследовать на условный экстремум [math]z=xy[/math] при [math]x^{2}+y^{2}=1[/math]
Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у. То есть получается, то х и у могут быть любыми - что это значит? И как тогда найти точку, которую проверяем на наличие экстремума?


Условие [math]x^{2}+y^{2}=1[/math] можно параметризовать. Все пары (х,у) такого типа имеют вид


[math]x=\cos{t}[/math], [math]y=\sin{t}[/math]


для какого-либо [math]t \in [0,2 \pi )[/math].


Тогда [math]z=\frac{ 1 }{ 2 }\sin{2t}[/math].

Теперь легко найти экстремумы.


Максимумы (=[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]) при [math]x=y=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math], [math]x=y=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math].

Минимумы (=[math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]) при [math]x=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, y=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math], или [math]x=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, y=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 11 окт 2018, 22:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
salainenkappale писал(а):
Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у.

Интересно, как у вас такое получилось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 11 окт 2018, 22:42 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]salainenkappale,[/math]
Если Вы делали по методу Лагранжа, то надо достигли до систему уравнении :[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{\partial z}{\partial x} = y +2 \lambda x = 0 \\
& \frac{\partial z}{\partial y} = x +2 \lambda y = 0 \\
& x^{2} + y^{2} = 1
\end{aligned}\right.[/math]

У этой систему есть решения
1) [math]x = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] ;
2) [math]x = -\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] ;
3) [math]x = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = -\frac{ 1 }{ 2 }[/math] ;
4) [math]x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = -\frac{ 1 }{ 2 }[/math]
Согласно методу Лагранжа у Вашей ф-ии в т. 1) и 2) есть минимум
[math]min z(\frac{ 1 }{ \sqrt{2} },- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
[math]min z(- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

а в т. 3) и 4) максимум
[math]max z(\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
[math]max z(- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= \frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали:
salainenkappale
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 окт 2018, 12:27 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 июн 2014, 20:02
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
Вот из коммента ниже, если выразить у и подставить во второе уравнение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 окт 2018, 12:34 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 июн 2014, 20:02
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan
Все, я поняла, как х и у находятся наконец-то :D1 Спасибо огромное!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 окт 2018, 12:37 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9390
Cпасибо сказано: 122
Спасибо получено:
1726 раз в 1634 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
salainenkappale писал(а):
Вот из коммента ниже, если выразить у и подставить во второе уравнение

А ведь правда! У меня было первая мысль вычесть первые два уравнения. А из вашего уравнения не следует. что
salainenkappale писал(а):
То есть получается, то х и у могут быть любыми
Отнюдь! Следует лишь [math]\lambda = \pm 1/2[/math] .

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали:
salainenkappale
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условный экстремум
СообщениеДобавлено: 12 окт 2018, 17:34 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 июн 2014, 20:02
Сообщений: 92
Cпасибо сказано: 36
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
searcher
да, я вот тоже это теперь поняла, спасибо))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

glamurka250

1

164

14 окт 2018, 10:55

Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

dimka11

1

321

22 янв 2018, 21:57

Исследовать функции на условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MathSamurai

2

178

26 авг 2019, 13:12

Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

Valzavator

2

215

21 мар 2017, 01:59

Условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

Ciber15

3

266

03 окт 2018, 16:49

Условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

mcbeat7

26

1054

21 июн 2015, 16:08

Условный экстремум ФНП

в форуме Дифференциальное исчисление

rndelic

0

161

13 дек 2017, 15:37

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

God_mode_2016

0

105

26 окт 2018, 17:52

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tanya199

12

250

26 янв 2020, 15:55

Найти условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

2

306

01 май 2017, 16:42


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved