Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
salainenkappale |
|
|
Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у. То есть получается, то х и у могут быть любыми - что это значит? И как тогда найти точку, которую проверяем на наличие экстремума? |
||
Вернуться к началу | ||
venjar |
|
|
salainenkappale писал(а): Исследовать на условный экстремум [math]z=xy[/math] при [math]x^{2}+y^{2}=1[/math] Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у. То есть получается, то х и у могут быть любыми - что это значит? И как тогда найти точку, которую проверяем на наличие экстремума? Условие [math]x^{2}+y^{2}=1[/math] можно параметризовать. Все пары (х,у) такого типа имеют вид [math]x=\cos{t}[/math], [math]y=\sin{t}[/math] для какого-либо [math]t \in [0,2 \pi )[/math]. Тогда [math]z=\frac{ 1 }{ 2 }\sin{2t}[/math]. Теперь легко найти экстремумы. Максимумы (=[math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]) при [math]x=y=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math], [math]x=y=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math]. Минимумы (=[math]-\frac{ 1 }{ 2 }[/math]) при [math]x=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, y=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math], или [math]x=\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, y=-\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
salainenkappale писал(а): Делала по методу Лагранжа и получила вот такие уравнения [math]x \cdot (1-4 \lambda ^{2})=0[/math], аналогично для у. Интересно, как у вас такое получилось? |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
[math]salainenkappale,[/math]
Если Вы делали по методу Лагранжа, то надо достигли до систему уравнении :[math]\left\{\!\begin{aligned} & \frac{\partial z}{\partial x} = y +2 \lambda x = 0 \\ & \frac{\partial z}{\partial y} = x +2 \lambda y = 0 \\ & x^{2} + y^{2} = 1 \end{aligned}\right.[/math] У этой систему есть решения 1) [math]x = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] ; 2) [math]x = -\frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] ; 3) [math]x = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = -\frac{ 1 }{ 2 }[/math] ; 4) [math]x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } ; y = - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }; \lambda = -\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Согласно методу Лагранжа у Вашей ф-ии в т. 1) и 2) есть минимум [math]min z(\frac{ 1 }{ \sqrt{2} },- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]min z(- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= - \frac{ 1 }{ 2 }[/math] а в т. 3) и 4) максимум [math]max z(\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= \frac{ 1 }{ 2 }[/math] [math]max z(- \frac{ 1 }{ \sqrt{2} }, - \frac{ 1 }{ \sqrt{2} })= \frac{ 1 }{ 2 }[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Tantan "Спасибо" сказали: salainenkappale |
||
salainenkappale |
|
|
searcher
Вот из коммента ниже, если выразить у и подставить во второе уравнение |
||
Вернуться к началу | ||
salainenkappale |
|
|
Tantan
Все, я поняла, как х и у находятся наконец-то Спасибо огромное! |
||
Вернуться к началу | ||
searcher |
|
|
salainenkappale писал(а): Вот из коммента ниже, если выразить у и подставить во второе уравнение А ведь правда! У меня было первая мысль вычесть первые два уравнения. А из вашего уравнения не следует. что salainenkappale писал(а): То есть получается, то х и у могут быть любыми Отнюдь! Следует лишь [math]\lambda = \pm 1/2[/math] . |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю searcher "Спасибо" сказали: salainenkappale |
||
salainenkappale |
|
|
searcher
да, я вот тоже это теперь поняла, спасибо)) |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 8 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |