Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 16:49 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
13 фев 2018, 15:50
Сообщений: 73
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти условный экстеумум в задаче
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстеумум в задаче
СообщениеДобавлено: 03 окт 2018, 17:50 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здесь вроде как функцию Лагранжа нужно использовать. Далее составить систему уравнений из частных производных и найти все значения, решив систему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 11:40 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Проще заменить одну переменную из уравнения связи. Вот только ... уравнения связи-то и нет

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Условный экстремум
СообщениеДобавлено: 04 окт 2018, 12:06 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]Ciber15,[/math]
1)Сразу одну заметку : Это не надо записаывать как [math]f(x) = -x^2_{1} - x^2_{2} +1[/math] и [math]g(x) = x_{1} + x_{2} + 1[/math] , а скорее как :
[math]f(x_{1},x_{2} ) = -x^2_{1} - x^2_{2} +1[/math] и
[math]g(x_{1},x_{2}) = x_{1} + x_{2} + 1[/math]
Ваша запись коректна, только если сделать уговорку, что [math]x = (x_{1},x_{2} ) ![/math]

2)Если дано только [math]g(x_{1},x_{2} ) = x_{1} + x_{2} + 1[/math] - то здесь нет никакого условие и
сразу видно, что при [math]x_{1}, x_{2} \in R[/math], у ф-ии [math]f(x_{1},x_{2} ) = -x^2_{1} - x^2_{2} +1[/math] экстремум - это глобальны максимум и он достигаеться при [math]x_{1} = x_{2} = 0[/math] и его стойность [math]= 1[/math] т.е. [math]extr f(x_{1},x_{2} ) = max f(x_{1},x_{2}) = f(0,0) = 1[/math];

3) Если задание такого :
[math]extr f(x_{1},x_{2}) = -x^2_{1} - x^2_{2} +1 =[/math] ?
при условии [math]g(x_{1},x_{2} ) = x_{1} + x_{2} + 1 = 0[/math]
То тогда для нахождение локального экстремума можно воспользоватся метода неопределенных множителей Лагранжа. Описание и условия этого метода здесь я не буду дефинировать - это можно найти в каждого сериозного курса по Математического анализа!
В кратце , утверждаеться что если у ф-ии [math]f(x_{1},x_{2} ) = -x^2_{1} - x^2_{2} +1[/math] есть локальны(условны) экстремум в т. [math](x^0_{1},x^0_{2})[/math] , при условие
3.1)[math]g(x_{1},x_{2} ) = x_{1} + x_{2} + 1 = 0[/math] ;
3.2) У [math]f(x_{1},x_{2} ), g(x_{1},x_{2} )[/math] , есть неперерывные производны по каждого из аргументов в открытая область содержащая т. [math](x^0_{1},x^0_{2})[/math] то тогда существуеть действительное число [math]\lambda[/math] , такое что для ф-ии
[math]F(x_{1},x_{2} ) = f(x_{1},x_{2} ) + \lambda \cdot g(x_{1},x_{2} )[/math], выполнены равенства
[math]F'_{x_{1} }(x^0_{1},x^0_{2}) = 0[/math]
[math]F'_{x_{2} }(x^0_{1},x^0_{2}) = 0[/math]
Это только необходимое условие для локального экстремума, но в случае оно и достатачное для нахождение его.
И так решаем систему :[math]\left\{\!\begin{aligned}
& F'_{x_{1} }(x_{1},x_{2}) = -2x_{1} +\lambda = 0 \\
& F'_{x_{2} }(x_{1},x_{2}) = -2x_{2} +\lambda = 0 \\
& g(x_{1},x_{2} ) = x_{1} + x_{2} + 1 = 0
\end{aligned}\right.[/math]


Из первых двух у-ии находим, что [math]\frac{ \lambda }{ 2 } = x_{1} = x_{2}[/math] , а из третего
что [math]x_{1} = x_{2} = - \frac{ 1 }{ 2 }[/math]
И так условны(локальны) экстремум в т.[math](-\frac{ 1 }{ 2 }, -\frac{ 1 }{ 2 })[/math]
[math]extrf(x_{1},x_{2}) = maxf(x_{1},x_{2}) = f(-\frac{ 1 }{ 2 }, -\frac{ 1 }{ 2 }) = -\frac{ 1 }{ 4 } - \frac{ 1 }{ 4 } + 1 = \frac{ 1 }{ 2 }[/math] , при условие что [math]g(x_{1},x_{2} ) = x_{1} + x_{2} + 1 = 0[/math]

Разумееться как ужу сказал в 2) глобальны максимум [math]f(x_{1},x_{2} )[/math] для [math]x_{1},x_{2} \in R[/math] в т.(0,0) и он [math]= 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

mcbeat7

26

1054

21 июн 2015, 16:08

Условный экстремум ФНП

в форуме Дифференциальное исчисление

rndelic

0

161

13 дек 2017, 15:37

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

God_mode_2016

0

105

26 окт 2018, 17:52

Условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tanya199

12

250

26 янв 2020, 15:55

Найти условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

natee1000

2

306

01 май 2017, 16:42

Найти условный экстремум

в форуме Исследование операций и Задачи оптимизации

rfgbnfkbyf

5

367

28 фев 2016, 03:37

Исследовать на условный экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

salainenkappale

7

432

11 окт 2018, 21:20

Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

dimka11

1

321

22 янв 2018, 21:57

Исследовать функции на условный экстремум

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

MathSamurai

2

178

26 авг 2019, 13:12

Исследовать на условный экстремум функцию

в форуме Дифференциальное исчисление

Valzavator

2

215

21 мар 2017, 01:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved