Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Достаточное условие дифференцируемости
СообщениеДобавлено: 13 июн 2018, 12:43 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как известно, достаточным условием дифференцируемости функции нескольких переменных является непрерывность частных производных. Недавно, пересматривая доказательство этой теоремы, у меня создалось впечатление, что это условие можно ослабить. А именно, можно не требовать непрерывности одной из частных производных. Например, [math]\frac{\partial f}{\partial x}[/math] и [math]\frac{\partial f}{\partial y}[/math] непрерывны в [math](x_0, y_0, z_0)[/math], а [math]\frac{\partial f}{\partial z}[/math] хотя бы существует в этой точке.

Возьмем доказательство Фихтенгольца для функции трех переменных:

Изображение

Что если к разности [math]f(x_0, y_0, z_0 + \Delta z) - f(x_0, y_0, z_0)[/math] не применять формулу конечных приращений, а просто представить ее в виде [math]f(x_0, y_0, z_0 + \Delta z) - f(x_0, y_0, z_0) = \frac{\partial f}{\partial z}(x_0, y_0, z_0) \Delta z + \gamma \Delta z[/math] как функцию одной переменной [math]z[/math]? Тогда не предполагается даже существования производной [math]\frac{\partial f}{\partial z}[/math] в окрестности точки [math](x_0, y_0, z_0)[/math].

Проверьте, пожалуйста, мое рассуждение. Если я не прав, то может ли кто-нибудь привести контрпример?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Достаточное условие дифференцируемости
СообщениеДобавлено: 14 июн 2018, 07:16 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2721
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Очевидно верно, так как дифференцируемость функции одной переменной равносильна существование производной.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
Space
 Заголовок сообщения: Re: Достаточное условие дифференцируемости
СообщениеДобавлено: 14 июн 2018, 09:13 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему, это очень интересный факт. А смутило меня только то, что в такой формулировке эта теорема нигде не встречается.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Достаточное условие для правой производной

в форуме Дифференциальное исчисление

RikkiTan1

4

577

10 июл 2015, 10:09

Достаточное условие сходимости последовательности?

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

usual_user

9

269

19 дек 2020, 11:57

Достаточное условие для существования производной

в форуме Дифференциальное исчисление

MosMan

19

2327

11 авг 2018, 16:58

Достаточное условие сходимости последовательности

в форуме Интересные задачи участников форума MHP

Human

0

253

03 май 2019, 17:00

Н-ое и достаточное условие возможности нахождения интеграла

в форуме Интегральное исчисление

stavatar20

8

197

18 апр 2020, 10:35

Найти необход-имое и достаточное условие делимости

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

mak_katrina

3

333

23 май 2019, 17:46

Проверить ряд на условие

в форуме Ряды

Mike6496

4

493

09 янв 2015, 21:39

Условие Липшица

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

genia2030

9

626

15 мар 2018, 19:13

Корректно ли условие

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

351w

3

267

18 май 2019, 21:05

Н Понимаю условие

в форуме Дифференциальное исчисление

Ryslannn

3

342

16 май 2017, 16:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved