Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ExtreMaLLlka |
|
|
Нахожу частные производные: [math]z'_x=\frac{2x }{ y-2 }[/math],[math]z'_y= - \frac{x^2 }{ (y-2)^2 }[/math] Приравниваю нулю. Получаю [math]x = 0[/math], а [math]y[/math] любое кроме 2. Как дальше исследовать? или писать, что критических точек нет? |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Где-то я этот пример уже видел.
ExtreMaLLlka писал(а): писать, что критических точек нет? Зачем же такое писать, если Вы только что критические точки нашли, да еще и бесконечно много? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: ExtreMaLLlka |
||
ExtreMaLLlka |
|
|
о, спасибо)
|
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Есть локальный максимум: [math]z_{max}= 0[/math] при [math]x=0\, ; \, y\approx -1,089[/math]
Но это говорит Вольфрам. https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+x%5E2%2F(y-2) Причем [math]y[/math] меняется при каждой перезагрузке. Значит, бесконечно много решений. |
||
Вернуться к началу | ||
Tantan |
|
|
А что дальше?!
Дальше, 1) надо найти [math]z''_{xx}, z''^{xy}, z''_{yy}[/math]; 2) потом вчислить [math](z''^{xy}(x_{0},y_{0}) )^2 - z''_{xx}(x_{0},y_{0}) \cdot z''_{yy}(x_{0},y_{0})[/math](где (x_{0},y_{0}) это координаты Ваших критических точек) , если этот израз [math]"< 0"[/math] , то у Ваша ф-я будеть экстремум в этих точек; По моему у Вас этот израз будет [math]= 0[/math] , в таком случае мажет быть экстремум, а может и не быть! Тогда исследум ф-я [math]z = \frac{ x^{2} }{ y-2 }[/math] , другим путем 3) для каждого [math]y < 2[/math] и [math]x \ne 0 \Rightarrow z < 0[/math] для каждого [math]y > 2[/math] и [math]x \ne 0 \Rightarrow z > 0[/math] В таком случае в окрестности т. [math](0,2)[/math] , есть как произвольно меньшие так и произвольно большие стойности ф-ии, а сама это ф-я в этоой точке НЕ ДЕФИНИРАНА! Для каждой т. [math](0,y \ne 2) , z = 0[/math] , 3.1)для т. [math](x \ne 0,y < 2) , z < 0[/math], 3.2)для т. [math](x \ne 0,y > 2) , z > 0[/math], так что здесь для т.[math](x =0,y < 2)[/math] ф-я имееть локальны максимум, а для т.[math](x =0,y > 2)[/math] ф-я имееть локальны минимум. |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Tantan писал(а): Дальше, 1) надо найти [math]z''_{xx}, z''^{xy}, z''_{yy}[/math] Зачем? В некоторых случаях (и в этом тоже) гораздо проще использовать просто определение экстремума (только правильное, а то некоторые студенты считают, что это точки, в которых обнуляется производная(ые) ). По необходимости у нас возникли точки [math](0,y),\, y\ne 2[/math]. В окрестности точки [math](0,y), y>2[/math], достаточно малой, чтобы не содержать точку [math](0,2)[/math], значение функции неотрицательно, а в самой точке оно нулевое, следовательно в точке [math](0,y), y>2[/math] локальный минимум. Строгий, поскольку значение функции в проколотой окрестности строго больше значения функции в исследуемой точке. Аналогично, в точке [math](0,y), y<2[/math] локальный максимум, тоже строгий. Где-то я уже писал об этом - ага, вот. Эта задача есть в Демидовиче и я из года год наблюдаю, как первокуры исследуют второй дифференциал в стационарной точке внутри треугольника, а в точках на катетах и вовсе теряются - хлоп-хлоп глазками, второй дифференциал вырождается, значит экстремум "не определяется". Тут поправляю - нет, это не экстремум "не определился", а Вы не определили. Давно уже не помню, чтобы студенты даже с подсказками, разобрались с этим практически очевидным случаем. Хотя здесь всё устно делается - нарисовал плюсы-минусы в областях, на которые разбилась плоскость тремя прямыми и всё как на ладони. Попутно очевидно, что и в точке внутри треугольника второй дифференциал не нужен - без него ясно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: FEBUS |
||
Tantan |
|
|
dr Watson писал(а): Зачем? |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
▼ А я вижу.
Кстати сказать, в данном случае второй дифференциал тоже ведь вырожден, так что следование готовому рецепту опять заводит в тупик. ▼
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали: FEBUS |
||
Tantan |
|
|
dr Watson писал(а): Зачем тогда вообще обучать студентов? И чему же их тогда обучать, готовым рецептам Как говорил Ричард Беллман :" Если Вы можете решить данная задача - это для Вас упражнения, в противном случая - это проблема!". В каждом хорошем курсе есть как упражнения для затверждения знания и вычислительные умения обучаемых и их математическая техника, а есть и задачи-проблемы для будных и продвинутых студентов, для которые необходимо соображать и имет более широкая математическая култура - мне так кажеться. Другое дела, что здесь, на этом форуме больше 90% задач - проблемы для тех кто поставлят их. Почему так - это очень длинная тема и для это виноваты не только те кто ищет здесь помощ ( в многих случаях для тривиальные вещи)! По моему причины комплексные. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
dr Watson писал(а): В окрестности точки [math](0,y), y>2[/math], достаточно малой, чтобы не содержать точку [math](0,2)[/math], значение функции неотрицательно, а в самой точке оно нулевое, следовательно в точке [math](0,y), y>2[/math] локальный минимум. Строгий, поскольку значение функции в проколотой окрестности строго больше значения функции в исследуемой точке. По-моему, экстремум не строгий. В любой окрестности [math](0,y_0)[/math] есть такие точки, в которых [math]z(x,y) = 0[/math]. Например, [math]z(0, y_0 + \varepsilon) = 0[/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |