Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 09:17 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
25 фев 2015, 14:51
Сообщений: 197
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Найти экстремум функции двух переменных [math]z= \frac{x^2 }{ y-2 }[/math]
Нахожу частные производные:
[math]z'_x=\frac{2x }{ y-2 }[/math],[math]z'_y= - \frac{x^2 }{ (y-2)^2 }[/math]
Приравниваю нулю. Получаю [math]x = 0[/math], а [math]y[/math] любое кроме 2.
Как дальше исследовать? или писать, что критических точек нет?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 09:21 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Где-то я этот пример уже видел.

ExtreMaLLlka писал(а):
писать, что критических точек нет?

Зачем же такое писать, если Вы только что критические точки нашли, да еще и бесконечно много?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
ExtreMaLLlka
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 09:25 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
25 фев 2015, 14:51
Сообщений: 197
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
о, спасибо)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 09:25 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Есть локальный максимум: [math]z_{max}= 0[/math] при [math]x=0\, ; \, y\approx -1,089[/math]

Но это говорит Вольфрам.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=max+x%5E2%2F(y-2)
Причем [math]y[/math] меняется при каждой перезагрузке. Значит, бесконечно много решений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 10:51 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что дальше?!
Дальше,
1) надо найти [math]z''_{xx}, z''^{xy}, z''_{yy}[/math];
2) потом вчислить [math](z''^{xy}(x_{0},y_{0}) )^2 - z''_{xx}(x_{0},y_{0}) \cdot z''_{yy}(x_{0},y_{0})[/math](где (x_{0},y_{0}) это координаты Ваших критических точек) , если этот израз [math]"< 0"[/math] , то у Ваша ф-я будеть экстремум в этих точек;
По моему у Вас этот израз будет [math]= 0[/math] , в таком случае мажет быть экстремум, а может и не быть!
Тогда исследум ф-я [math]z = \frac{ x^{2} }{ y-2 }[/math] , другим путем
3) для каждого [math]y < 2[/math] и [math]x \ne 0 \Rightarrow z < 0[/math]
для каждого [math]y > 2[/math] и [math]x \ne 0 \Rightarrow z > 0[/math]
В таком случае в окрестности т. [math](0,2)[/math] , есть как произвольно меньшие так и произвольно большие стойности ф-ии, а сама это ф-я в этоой точке НЕ ДЕФИНИРАНА!
Для каждой т. [math](0,y \ne 2) , z = 0[/math] ,
3.1)для т. [math](x \ne 0,y < 2) , z < 0[/math],
3.2)для т. [math](x \ne 0,y > 2) , z > 0[/math],
так что здесь для т.[math](x =0,y < 2)[/math] ф-я имееть локальны максимум,
а для т.[math](x =0,y > 2)[/math] ф-я имееть локальны минимум.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 12:35 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Tantan писал(а):
Дальше,
1) надо найти [math]z''_{xx}, z''^{xy}, z''_{yy}[/math]

Зачем? В некоторых случаях (и в этом тоже) гораздо проще использовать просто определение экстремума (только правильное, а то некоторые студенты считают, что это точки, в которых обнуляется производная(ые) ).
По необходимости у нас возникли точки [math](0,y),\, y\ne 2[/math]. В окрестности точки [math](0,y), y>2[/math], достаточно малой, чтобы не содержать точку [math](0,2)[/math], значение функции неотрицательно, а в самой точке оно нулевое, следовательно в точке [math](0,y), y>2[/math] локальный минимум. Строгий, поскольку значение функции в проколотой окрестности строго больше значения функции в исследуемой точке.
Аналогично, в точке [math](0,y), y<2[/math] локальный максимум, тоже строгий.

Где-то я уже писал об этом - ага, вот.
Эта задача есть в Демидовиче и я из года год наблюдаю, как первокуры исследуют второй дифференциал в стационарной точке внутри треугольника, а в точках на катетах и вовсе теряются - хлоп-хлоп глазками, второй дифференциал вырождается, значит экстремум "не определяется". Тут поправляю - нет, это не экстремум "не определился", а Вы не определили. Давно уже не помню, чтобы студенты даже с подсказками, разобрались с этим практически очевидным случаем. Хотя здесь всё устно делается - нарисовал плюсы-минусы в областях, на которые разбилась плоскость тремя прямыми и всё как на ладони. Попутно очевидно, что и в точке внутри треугольника второй дифференциал не нужен - без него ясно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 14:30 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Зачем?

Разумееться для опытного математика по виду ф-ии можно определить - нужно ли вовсе следуеть стандартную поцедуру исследования на экстремум функции нескольких переменных! Обако мне кажеться, что для студента, это вряд ли годиться( особенно ниже средного уровня математики, а мне кажеться что здесь помощ ищут именно такие)!
Поэтому не вижу ничего плохого есть ли он перечислить квадратичная форма вторых производных на определенност( у нас говорят "дефинитность") в критических точек и ознакомиться с том случай когда она неопределенна и не годиться для определение есть или нет экстремум в этих точек и потом поискат другие пути для исследования на екстремум искающие нетривиальные рассуждения!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 16:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
▼ А я вижу.
Tantan писал(а):
Поэтому не вижу ничего плохого есть ли он перечислить квадратичная форма вторых производных на определенност

Зачем тогда вообще обучать студентов? И чему же их тогда обучать, готовым рецептам? Это не задача вузов - в лучшем случае техникумов. Нет, даже не техникумов, а программистов - пусть они эти рецепты (уже существующие и вновь создаваемые немногочисленными яйцеголовыми) вкладывают в железную башку роботов, которые с бОльшим успехом заменят "специалистов", которые без подсказки потребные два и два складывать не догадываются.

Кстати сказать, в данном случае второй дифференциал тоже ведь вырожден, так что следование готовому рецепту опять заводит в тупик.
Я это только что заметил, что Вы про это писали, предварительно вычислив. Я же считаю, что выкладки должны быть после того, как голова решила, что так лучше. То есть рука должна следовать за головой, а не наоборот. Смешно и печально смотреть на студента, у которого ещё ни одной мысли в голове не мелькнуло, а его рука уже что-то пишет.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю dr Watson "Спасибо" сказали:
FEBUS
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 20:49 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
12 окт 2017, 13:50
Сообщений: 2358
Cпасибо сказано: 94
Спасибо получено:
709 раз в 684 сообщениях
Очков репутации: 200

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Зачем тогда вообще обучать студентов? И чему же их тогда обучать, готовым рецептам

Как говорил Ричард Беллман :" Если Вы можете решить данная задача - это для Вас упражнения, в противном случая - это проблема!".

В каждом хорошем курсе есть как упражнения для затверждения знания и вычислительные умения обучаемых и их математическая техника, а есть и задачи-проблемы для будных и продвинутых студентов, для которые необходимо соображать и имет более широкая математическая култура - мне так кажеться. Другое дела, что здесь, на этом форуме больше 90% задач - проблемы для тех кто поставлят их. Почему так - это очень длинная тема и для это виноваты не только те кто ищет здесь помощ ( в многих случаях для тривиальные вещи)! По моему причины комплексные.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экстремум функции двух переменных
СообщениеДобавлено: 23 май 2018, 22:24 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
В окрестности точки [math](0,y), y>2[/math], достаточно малой, чтобы не содержать точку [math](0,2)[/math], значение функции неотрицательно, а в самой точке оно нулевое, следовательно в точке [math](0,y), y>2[/math] локальный минимум. Строгий, поскольку значение функции в проколотой окрестности строго больше значения функции в исследуемой точке.

По-моему, экстремум не строгий. В любой окрестности [math](0,y_0)[/math] есть такие точки, в которых [math]z(x,y) = 0[/math]. Например, [math]z(0, y_0 + \varepsilon) = 0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

HitGirl

4

324

09 мар 2020, 12:01

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

God_mode_2016

11

817

25 апр 2018, 15:21

Экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Gwen

5

220

27 ноя 2020, 12:13

Условный экстремум функции о двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

MercuryOcean

6

474

01 дек 2016, 22:59

Условный экстремум функции двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

Fixed_up

3

322

17 дек 2016, 19:02

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Yurievna

2

338

17 май 2018, 11:35

Исследовать функцию двух переменных на экстремум

в форуме Дифференциальное исчисление

Mari89

4

409

05 окт 2015, 18:46

Исследовать на экстремум функцию двух переменных

в форуме Дифференциальное исчисление

vice4

24

1071

27 янв 2018, 12:02

Экстремум функции нескольких переменных

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

lockyst

3

246

18 июн 2018, 18:13

Экстремум функции 2-х переменных при условии

в форуме Дифференциальное исчисление

swillrocker

2

545

06 июл 2014, 03:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 22


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved