Вне треугольника, который образуют прямые
[math]x=0, y=0[/math] и
[math]x+y=12[/math] критических точек нет. Внутри треугольника она одна. Поэтому в ней экстремум, так на компакте непрерывная функция достигает экстремальных значений. Так как на границе значение нуль, а в точке функция положительна, то в ней максимум. В точках прямых
[math]x=0, y=0[/math] смотрите знаки функции около точек. На одной экстремумов нет, на другой все, за исключением двух точек. В одних некоторых нестрогий максимум, в других нестрогий минимум. Всё без вычислений, глядя на картинку, за исключением нахождения критической точки внутри.